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最も美しく感動した定理あげてけ @ [数学板]


最も美しく感動した定理あげてけ @ [数学板]
1:132人目の素数さん 2015/10/19(月) 20:25:18.19 ID:6Fg+H+Hw.net
フォイエルバッハ(Feuerbach)の定理
三角形において その九点円は 内接円に内接し 傍接円に外接する。


これ以上素晴らしい定理はみたことがない
他の定理はどれも汚い
これより素晴らしい定理があるか
九点円
九点円
管理人より:「九点円」というのはこのように、三角形の中の特定の9点
* 3辺の中点
* 3頂点から対辺に下ろした垂線の足
* 垂心と3頂点の中点

を通る円のこと。
九点円は内接円と傍接円に接する。
というのがフォイエルバッハの立てた予想で、オルリー・テルケムが証明しているそうです。また、九点円の中心は常に三角系の垂心(三角形の中線の交点)と外心(外接円の中心)を結ぶ線(オイラー線)の中点にあるという。なんかいろいろすごい。
2:132人目の素数さん 2015/10/19(月) 20:30:27.64 ID:JQuWRZpQ.net
俺はモーリーの定理かな
3:132人目の素数さん 2015/10/19(月) 20:44:53.53 ID:6Fg+H+Hw.net
>>2
まあそれも美しいが、内接円と3つの傍接円という基本円に9点円が接するものには勝てまい。
円が接しているという美には三等分線と正三角形も勝てない
7:132人目の素数さん 2015/10/19(月) 22:23:22.67 ID:tAYXPzhm.net
>>3
なぜ誰も「そうなんだろう。お前の中ではな」の画像を貼らない?
モーリーの定理
管理人より:「モーリーの定理」というのは、
任意の三角形においてそれぞれの内角の三等分線を引く。各辺に近い線同士の交点を P, Q, R とすると、三角形PQR は正三角形になる。この正三角形をモーリーの三角形という。
13:132人目の素数さん 2015/10/20(火) 14:13:32.74 ID:u08PMjTc.net
>>1には勝てないな。
極めて基礎的な初等幾何の概念である三角形の中に9点円が存在するだけでも美しいが、さらにそれが他の基礎的な円である三角形の内接円と、3つの傍接円全てに接するとか奇跡としかいいようがない

子供でも分かる感動的な定理と言える
14:132人目の素数さん 2015/10/20(火) 14:15:02.90 ID:u08PMjTc.net
カール・フォイエルバッハこれを証明したフォイエルバッハは夭逝してしまったので、むしろ証明まで理解するのは致死的と言えるほど美しいのだろう

我々はただ崇めるしかない至高の定理
71:132人目の素数さん 2015/10/24(土) 15:10:50.26 ID:AGdrDAbm.net
しかも九点円の中心はオイラー線上にあるってすごすぎる
72:132人目の素数さん 2015/10/24(土) 16:07:05.63 ID:1EzV4gEF.net
更に、

外接円の対蹠点上にある2点から導かれる2本のシムソン線は、九点円上で直交する。

垂心と外接円上の任意の点の中点は九点円上にある。

三角形の内心と傍心、傍心同士の中点は外接円上にある。
15:132人目の素数さん 2015/10/20(火) 15:42:01.89 ID:QErfjqTl.net
ユークリッド幾何が一種の美しさがあるのは認めるが、ユークリッド幾何で停留してる奴の感性は汚い。
20:132人目の素数さん 2015/10/20(火) 18:34:06.59 ID:YWOaJH41.net
応用価値の高さならブラウワーの不動点定理やハーン・バナッハもいい線いくんじゃないかと思うけど、>>1に美しいと認定してもらえる自信はないなぁ。
改めて考えてみると、イマイチ浮かばない。
微積分の基本定理や次元公式は、美しくかつ応用価値も高いと言えるかな。
23:132人目の素数さん 2015/10/20(火) 22:04:30.54 ID:CDCCPi08.net
この図
管理人より:なんの図かわかる方教えてくだされ…。
25:132人目の素数さん 2015/10/21(水) 01:57:06.16 ID:+lQt4SVr.net
数論は不思議な定理は多いが美しい定理はほとんどない
26:132人目の素数さん 2015/10/21(水) 02:19:31.00 ID:IZtuKOfK.net
何が美しいかは、見る者の品性次第だからな。
27:132人目の素数さん 2015/10/22(木) 07:53:02.96 ID:XWMvV6Uz.net
e^(iπ)=-1のことをみんなどう思ってるの
28:132人目の素数さん 2015/10/22(木) 16:24:23.26 ID:K5ikMcSN.net
>>27
ミーハー野郎認定されるかもしれないと怯えて言い出せない人だらけ
30:132人目の素数さん 2015/10/22(木) 16:51:32.33 ID:HVyOsrMy.net
>>27
理系なら誰でも大学の教養課程ですぐに知ることになるので、初等的過ぎて特別な感慨などない、というのが素直な気持ち
それと、これはどう考えても解析の定理であって、代数的な要素はない
29:132人目の素数さん 2015/10/22(木) 16:46:18.99 ID:ML.net/z6Hd+
オイラーの定理は所詮大学レベルの老人臭い人工的な代数学の定理

初等幾何、組み合わせ論、数論、代数学の順番に定理は美しい
31:132人目の素数さん 2015/10/22(木) 17:10:35.72 ID:G9aA7CcL.net
数学者が選ぶ美しい公式
第1位「オイラーの公式」 (博士の愛した数式)
リチャード・ファインマンはこの公式を評して「我々の至宝」かつ「すべての数学のなかでもっとも素晴らしい公式」だと述べた

第2位「オイラーの多面体公式」
>>29-30
>オイラーの定理は所詮大学レベルの老人臭い人工的な代数学の定理
さすが世界中のプロ数学者や超一級理論物理学者以上に数学を知っているやつらの感想は違う

>理系なら誰でも大学の教養課程ですぐに知ることになるので、初等的過ぎて特別な感慨などない
ピタゴラスの定理だっていまだに感慨を受けるがな
簡単証明の手順がわかっていても原初的な不思議と感動だ

もっとも初等的で素朴なものに触れたときの感慨をいつまでも持ち続ける人間に数学や理系の才能はなさそうだな
初等的なものなどに意味はなーい キリッ

さすがさすがユウシュウユウシュウ
34:132人目の素数さん 2015/10/22(木) 17:53:56.61 ID:mezbMgyx.net
博士の愛した数式 (新潮文庫) 博士が愛してしまって以来、オイラーの等式はにわかのキーワードだからなあ。
言い出しにくい雰囲気は、確かにある。
管理人より:「オイラーの等式」は、有名な オイラーの等式↑こゆやつ。虚数、自然対数の底、円周率の間に見られる美しい関係。eもπも無理数だし、これと虚数をアレコレしてなんで「-1」になるのかさっぱりわからず、証明見てみたことあるけど1ミリも理解できない雰囲気でした。
38:132人目の素数さん 2015/10/22(木) 19:41:30.37 ID:Qx1oAgSm.net
ジョルダンの閉曲線定理
39:132人目の素数さん 2015/10/22(木) 19:44:03.54 ID:ML/z6Hd+.net
三角形の各辺の中点、垂線の足、垂心と頂点の中点が同一円周上にあり、その円が三角形の内接円に内接するばかりか、三つの傍接円全部に外接する、という奇跡に勝てる定理はない。
41:132人目の素数さん 2015/10/22(木) 20:35:11.37 ID:mezbMgyx.net
定理が勝つとか、負けるとか、根本的に異質な奴が何か言ってるな。
美しさをそーいう風に捉える人なら、数学よりも美術品の美とかのほうが似合うんじゃないか?
47:majorana1092015/10/22(木) 22:35:09.50 ID:Bq7fC1Zf.net
>>41
ピカソやゴッホの絵画は高価であり、数学の美しい定理は、安い。
市民図書館でたやすく手に入る・・。
管理人より:「ジョルダン曲線定理」は、位相幾何学における、
平面に置かれた自己交差を持たないどんな閉曲線(輪っか)も平面を「内側」と「外側」に分けるということを述べた定理。
え、そんなの当たり前じゃん…という感じですが、これを証明するのは困難を極め、オズワルド・ヴェブレンによって1905年にようやく証明されたとのこと。
43:132人目の素数さん 2015/10/22(木) 20:52:01.71 ID:ZjXDX32B.net
他の定理があってのフォイエルバッハの九点円だってのに、>>1の言い切り方はすげーな。

美しーなーって感動した事は何回もあるが、他のが汚いってのは思った事無い。
44:132人目の素数さん 2015/10/22(木) 21:02:15.09 ID:Qx1oAgSm.net
たくさんの定義を必要とする定理が美しいとは思わない
50:132人目の素数さん 2015/10/22(木) 22:41:34.78 ID:fabajAto.net
アレクサンドル・グロタンディーク>>44
グロタンディークの数学なんてうけつけないんだろうな。
受け付けてないというより理解する能力に欠いてるんだろうけどw
57:132人目の素数さん 2015/10/22(木) 22:58:12.62 ID:fabajAto.net
>>44>>50
いい定義を得るのはひたすら大変だ
49:132人目の素数さん 2015/10/22(木) 22:40:50.80 ID:Bq7fC1Zf.net
美術品のオリジナルは高価であり、美術品の批評や感想の類の本は・・どこのコンビニでも売ってます。

ところで、教科書に載っている定理
教授が黒板に書く定理

これは、オリジナルの美術品か??
それともつまらん批評の類か?
52:132人目の素数さん 2015/10/22(木) 22:45:15.87 ID:ft2LsPZ2.net
楽器は高い、音楽は安い
53:132人目の素数さん 2015/10/22(木) 22:51:23.46 ID:ft2LsPZ2.net
紙が高価な時代もあった
54:132人目の素数さん 2015/10/22(木) 22:55:35.25 ID:fabajAto.net
ラズベリーパイは安いがマセマティカはまともに買うと高い
Mathematica
管理人より:「Mathematica」というのは数式を図で表現したり、その他もろもろの数式処理機能を備えたソフトウェア。
46:132人目の素数さん 2015/10/22(木) 21:54:00.97 ID:ZjXDX32B.net
微積分学の基本定理は美しいと思った。
美しいと言うより、ここから始まる微積分学がどれだけ複雑な学問かと思うと、入り口の式の単純さに驚く。
48:132人目の素数さん 2015/10/22(木) 22:38:24.60 ID:0lG95DvM.net
超幾何級数関連の等式が美しいと感じる
最も基本的なので言えば、幾何級数
1/(1-z) = 1 + z + z^2 + … ( lim[n→∞]z^n → 0 )
など
単純かつ実用的
59:132人目の素数さん 2015/10/22(木) 23:04:05.79 ID:fabajAto.net
準同型定理
60:132人目の素数さん 2015/10/22(木) 23:05:16.55 ID:fabajAto.net
核余核、コホモロジー
62:132人目の素数さん 2015/10/23(金) 00:37:05.77 ID:piDYbHv4.net
自由加群
63:132人目の素数さん 2015/10/23(金) 01:18:49.76 ID:gUOptNsT.net
初等整数論の問題が群論使うと自明になるような、そういう一般的な原理を支えている性質が美しい
65:132人目の素数さん 2015/10/24(土) 08:31:02.83 ID:uXeXYg2k.net
おまえら閉曲面の分類定理なんで好きじゃないの
あんなに綺麗な結果が出てるのに
68:132人目の素数さん 2015/10/24(土) 10:49:46.23 ID:2S8ECmTT.net
アーベルの定理
まさか5次方程式以上の解の公式がないとはな
69:132人目の素数さん 2015/10/24(土) 12:23:39.23 ID:1EzV4gEF.net
美しい定理を書けと言ったのであって偉大な定理を書けとは言っていない
偉大な定理が必ずしも美しいとは限らない
73:132人目の素数さん 2015/10/24(土) 16:09:05.37 ID:4GqdRpsg.net
フェルマーの最終定理の解決法の奥深さが理解できないうすっぺらはユークリッド幾何大好き
75:132人目の素数さん 2015/10/24(土) 16:54:13.12 ID:YYF1FBPX.net
>>73
高校数学で落ちこぼれた劣等生が大学数学に逃避する、という超理論を唱える人がいるらしいよw
管理人より:「フェルマーの最終定理」というのは有名な、
3 以上の自然数 n について、x^n + y^n = z^n となる 0 でない自然数 (x, y, z) の組が存在しない[1]、という定理のことである。
↑これのこと。フェルマー自身は「この定理に関して、私は真に驚くべき証明を見つけたが、この余白はそれを書くには狭すぎる」と書き残しています。一見簡単に見えるこの数式は360年にも渡って数学者を悩ませ続けましたが、1994年にアンドリュー・ワイルズによってようやく証明されました。
76:132人目の素数さん 2015/10/24(土) 21:12:10.29 ID:Q7GPF6zB.net
逆に最も醜い定理は?
78:132人目の素数さん 2015/10/24(土) 21:22:32.68 ID:9ryTzsgF.net
一致の定理(wikipediaより)
複素解析において、通常は可算点列上で局所的に一致する2つの正則関数が大域的に一致することを主張する定理
79:132人目の素数さん 2015/10/24(土) 22:18:00.58 ID:PGwbOHKa.net
>>78
馬鹿言え。それは、美しい定理の代表格のひとつだ。
>可算点列上で局所的に一致する
それを、集積点を持つ集合上で一致すると言えれば、美しさに気づくのかな?
80:132人目の素数さん 2015/10/25(日) 06:59:50.78 ID:UZuZw61G.net
81:132人目の素数さん 2015/10/25(日) 09:01:31.82 ID:FeX0gcyy.net
命題が綺麗なのに証明が汚いの代表格は四色問題だろう
77:132人目の素数さん 2015/10/24(土) 21:18:44.94 ID:9ryTzsgF.net
>>76
そんなの腐るほどあるぞ

ハイ、そういうわけで、例によって管理人は全然わかんなくてまとめてますのでひとつヨロシク。
内容がわかりやすく要約できない系のやつは、そもそも解説を入れてません。(入れることができません、というか)

最後の「四色定理」というやつは、どのような接し方をしている地図でも、隣接する区域が異なる色になるようにするためには4色あれば充分である、という定理。
これも証明自体はなかなか困難だったと言われますが、最終的に1000パターンほどに切り分けて、コンピューターを使って証明された…ということで、当時の数学者をいたく失望させたと言われています。
現在では他の方法でも証明されており、その定理は間違いのないものだそうです。

↑こちらの記事まとめたとき、円周率について調べて見つけたこの↓ オイラー積「オイラー積」というやつは、なんかいろいろスゲーな!と思ったものです。
平たく言うと、自然数の和と、素数の積と、円周率はイコールだと言うんですから、いったいどういうアレで見つけたものでしょうか。

なんでも数学者は生涯のうちに、誰でもいくつかの定理を発見するんだそうです。
しかし、「美しい定理」を発見できるというわけではなく、やはり運とかセンスとか閃きとか、そゆものが必要。
数学史上に名高い天才なんて、こういうものをすべて兼ね備えたひとなんでしょうねー。
5.25追記:当記事を「朝目新聞」様でご紹介いただきました!裁判員制度って誰が得するのかよくわからんすね!



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    • ※1 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2016.5.18 21:15
    個人的には単位円が一番感動したかなー
    あんなシンプルな図で三角比やら何やらの色々がわかるのはすごいと思う
    • ※2 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2016.5.18 21:46
    バナッハ=タルスキーのパラドックス
    • ※3 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2016.5.18 22:08
    数学者ってちんこでかそう
    • ※4 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2016.5.18 22:28
    定理に美しいも醜いもないよ、定理は結果であり、ある人が必死に見つけた真実。
    絵にして飾って鑑賞しても意味が無い、美しさを問いかける前に使い方を考えて次に繋げて欲しい。
    • ※5 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2016.5.18 23:16
    一瞬で汚いと思ったのはラマヌジャンの円周率の公式
    でもそれが返ってラマヌジャンの奇才さを証明するような公式になってると思う
    • ※6 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2016.5.19 0:17
    Cauchyの積分公式が最も基本的で、最も重要だと思うわ
    de Rham同型やmotiveの概念の全てが集約されている
    積分を通して、異なる次元の橋渡しになっている
    • ※7 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2016.5.19 13:44
    なんだかんだ言っても、管理人も挙げてるオイラーの等式が最も美しいでしょ
    単に美しいと言うより、この宇宙の構造が垣間見えて鳥肌立つわ
    • ※8 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2016.5.20 23:22
    うっひょーさっぱりわからなーい
    • ※9 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2016.5.20 23:44
    ::::::
    ::::::
  1. おっ、たくさん上がってますねー。

    >一瞬で汚いと思ったのはラマヌジャンの円周率の
    これWikipediaで公式見てみたけど、すんごいですねー!
    彼の頭の中見てみたい。
    ------------------------
    >この宇宙の構造が垣間見えて鳥肌立つわ
    あれだけシンプルでいて、数の神秘を感じさせる公式ってのはなかなかないですよね。
    アインシュタイン博士の「E=mc^2」とかくらいしか…。
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