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素数についてのある法則を発見した! @ [数学板]


素数についてのある法則を発見した! @ [数学板]
1: 132人目の素数さん 2013/03/27 20:27:30
pを素数、aを2以上p未満の自然数とするとき、1にaを掛け続ける作業はp-1を周期に巡回する(modp)

例:pが5の場合

1に2を掛け続ける作業:1,2,4,3,1,2,4,3,1,2,……(mod5)
1に3を掛け続ける作業:1,3,4,2,1,3,4,2,1,3,……(mod5)
1に4を掛け続ける作業:1,4,1,4,1,4,1,4,1,4,……(mod5)

 1

3 5 2

  4
↑みたいな図で考えるとイメージしやすい
管理人より:合同式というやつなんだそうですが、wikipediaの説明はわかりにくすぎるので、
数学で「法とする」とは、どういう意味でしょうか?
数学で(mod n)などと書かれているものがあるのですが modとはどういう意味ですか?
このあたりでしょうかねぇ…。
要するに無限という概念を切り崩すために、時計の文字盤のように、いったんくるくる巡回する数列の中で物事を考えましょうということです。(超分かりやすく言うと
たとえば、「5を法とする世界」では、4+4は8ではなく、3になり、これを「8≡3 (mod 5)」のように表記するようですね。
説明あってるだろうか…(ドキドキ
2: 132人目の素数さん 2013/03/27 20:35:16
図ちょっとずれちゃった…書き直す

  1

3 5 2

  4
みたいな図
時計回りに90度移動すること=2を掛けること
反時計回りに90度移動すること=3を掛けること
時計回りに180移動すること=4を掛けること
時計回りに360度移動すること=1を掛けること
になる。



また、向かい合う数を足すとp(この例の場合は5)になる

これ使ってなにかできないかな?
3: 132人目の素数さん 2013/03/27 20:41:37
pが7のとき

  1
5   3
  7
4   2
  6
173: 132人目の素数さん 2013/07/18 13:41:45
>>3
これ1、3になっていて2を掛けてないんじゃね?
4: 132人目の素数さん 2013/03/27 20:45:37
pが11のとき

   1
 6   2
3     4      
   11
7     8
 9   5
   10 
5: 132人目の素数さん 2013/03/27 20:50:24
pが13のとき

   1
  7 2
 10   4
5  13  8
 9   3
  11 6
   12
8: 132人目の素数さん 2013/03/27 20:54:55
あぁ上手く描けない…まぁ伝わったらいいか…
こんな感じになることを発見したんだ!もう既に発見されているものなのかもしれないけど!これ使ってなにかできないかな???
9: 132人目の素数さん 2013/03/27 20:56:02
フェルマ・・・・・おっと言い過ぎたかな
ピエール・ド・フェルマー (Wikipedia) ピエール・ド・フェルマー ピエール・ド・フェルマー(Pierre de Fermat、1607年末または1608年初頭[1]- 1665年1月12日)はフランスの数学者。「数論の父」とも呼ばれる。ただし、職業は弁護士であり、数学は余暇に行ったものである。
(中略)
数学においては、パスカルと共同で確率論の基礎を作り、デカルトと文通を交わしながらデカルトとは独立に解析幾何学を創案するなどの功績を残す。 解析幾何学については、デカルトが二次元での理論にとどまったのに対し、フェルマーは三次元空間でも考えていた。その他、幾何学、微分積分学といった諸分野においても先駆的な仕事を遺しており、特に数論における仕事は独創的で後世の数論家たちに大きな影響を与えた。
数論への傾倒の直接的な契機は、古代ギリシャの数学者ディオファントスが著した『算術』 (Arithmetica) の注釈本を1630年ごろに手に入れて研究したことのようである[2]。 『算術』を熟読していくうちに彼はその余白に有名な48の注釈を書き込んだ[2][3]。 フェルマーの数論における仕事が世に知られるようになったのは、その死後に長男のサミュエルが『算術』を父の書込み付きで再出版してからであり、数論の研究においては事実的に孤立していた[2]。
48の書込みのうち47の命題は後世の数学者達によって証明または否定の証明が与えられたが、最後の一つ(2番目の書き込み)は長年にわたって解かれずにいた[2]。
11: 132人目の素数さん 2013/03/27 20:57:00
>>9
もうフェルマーさんが発見してる感じ?だったらごめん!
16: 132人目の素数さん 2013/03/27 21:07:17
発見てwwwwwww
大学で普通に習うし、
ちょっと頭いい人なら小学生くらいでも発見してるしwwwww
21: 132人目の素数さん 2013/03/27 21:11:40
小定理がこの中に含まれているのは知ってるよ~~

ある素数より小さい全ての自然数がその素数の回りを回っているのが凄いと思ったんだ…
大学で習うんだ…ごめん…
23: 132人目の素数さん 2013/03/27 21:14:07
すねるなよ
あと大学じゃなくて数学が好きな中学生なら大体知ってる
24: 132人目の素数さん 2013/03/27 21:14:32
そっかぁ…ごめん…
18: 132人目の素数さん 2013/03/27 21:08:58
向かいあう数同士を足すとpになる
また等間隔にあるn(nは2以上の自然数)を足すとpの倍数になる


  1
5   3
  7
4   2
  6

1+2+4=7
3+5+6=14
27: 132人目の素数さん 2013/03/27 21:27:10
どの素数の場合でもこういうふうに円を描くことって証明済みなの?
28: 132人目の素数さん 2013/03/27 21:40:13
「こういうふうに円を描くこと」というのが、p-1以下の数が1回ずつ現れることだとするなら、
代数学の言葉では「Z/pZの乗法群は巡回群である」と表現できて、これは有名な事実

>>1は代数学の入門書か初等整数論の本でも読んでみるといい
この辺のことがより一般化された形で議論されている
30: 132人目の素数さん 2013/03/27 21:42:33
>>28
ありがとう!
54: 132人目の素数さん 2013/03/29 22:57:37
代数好きになるといいね。
凡人には何が面白いか全く分からん。
管理人より:まだもうちょっとだけ続くんじゃ。むしろ数学スキーなドクターには、ここからが本題なんじゃ。
59: 132人目の素数さん 2013/03/30 14:44:51
>>1に問題
1にaを掛け続けて1からp-1までの全ての数が現れるとき、aを生成元という。
例.
p=5のとき2は生成元だが4は生成元でない
p=7のとき3は生成元だが2は生成元でない

一般に、生成元を見つけることは難しい。
しかし、一つでも生成元が見つかれば、ある法則によって、他の全ての生成元が簡単に見つけられる。
その法則とは何か。
86: 132人目の素数さん 2013/04/02 03:25:49
>>59
>>1じゃないけど>>1の考えた円でpの加法生成元個目って乗法生成元になってるかな。
何か面白い。
60: 132人目の素数さん 2013/03/30 15:11:42
とりあえずその生成元の逆数は生成元になるね…
ごめんまだその法則見つけれてないんだ…
61: 132人目の素数さん 2013/03/30 15:18:48
aの(p-1÷2)乗がp-1になるときaが生成元なのは分かるけど…
63: 132人目の素数さん 2013/03/30 15:58:44
>>61
それは反例がある。
例えばp=7でa=6
65: 132人目の素数さん 2013/03/30 19:02:58
>>63
そっか…
p-1は生成元にならない(ただしp=3の場合は除外)
って条件をつければいいのかな…
66: 132人目の素数さん 2013/03/30 19:21:37
>>65
p=13で,a=5,8
5,12,8,1,5
5,12,5,1,5
69: 132人目の素数さん 2013/03/30 19:40:14
とにかく具体例を観察することだな
ゆっくり考えるといい
70: 132人目の素数さん 2013/03/30 19:54:13
うん。ありがとう
84: 132人目の素数さん 2013/04/01 21:22:40
数学素人だけど、この数字の並び面白いね。
どういう仕組みなんだろ。
生成元の答えと関係有るのかな。
89: 132人目の素数さん 2013/04/02 22:13:25
この巡回乗法群と加法群で有限体を成すんだろうけど、0とp-1の扱いが分からなくなった。
乗法群と加法群で1ずれたらすっきりする気がするのは何故だろう。
良く分かって無くてごめんなさい。
90: 132人目の素数さん 2013/04/03 05:31:21
mod(13)の乗法に関する有限環
   1
  7 2
 10   4
5  13  8
 9   3
  11 6
   12
mod(12)の加法に関する有限環
   0
  11 1
 10   2
9  12  3
 8   4
  7 5
   6
この二つって完全に同型だよね。
これを体とした方がすっきりする。
96: 132人目の素数さん 2013/04/03 14:46:28
>>90>>91
集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}に、和はmod12,積はmod13で演算を入れるということか。
手始めに分配法則あたりから確かめてみようか。
91: 132人目の素数さん 2013/04/03 08:50:15
加法群では12を単位元とすればいいのかな。時計で正午の事を0時と言うか12時と言うかの違いだし。
0が使えないとなると、拡大体はどうなるんだろう。この円で記述出来るのかな。
92: 132人目の素数さん 2013/04/03 11:05:40
乗法に関する有限環とか加法に関する有限環って何だよwwwww
94: 132人目の素数さん 2013/04/03 12:08:47
この場合の「環」は「数を円状に配置してできる輪っか」程度の意味でしょ
109: 132人目の素数さん 2013/04/05 10:22:22
この法則発見した俺って天才だよな!な!誉めたたえたまえ!
113: 132人目の素数さん 2013/04/07 05:22:31
数学で法則ってw物理じゃないんだからw

自分で見つけたものなんて、たいていは間違いか大昔に既に誰かが見つけてるもの。
悪いこと言わないから、基礎から地道に勉強しなさい。
114: 132人目の素数さん 2013/04/07 07:26:26
はい.ありがとう
管理人より:以下に>>59の正解と思しきものがあります。自力で解いてみたいドクターは注意。
117: 132人目の素数さん 2013/04/17 11:05:09
この法則と素数が規則的に並んでいるかどうかっていう問題は関係ないのかな
118: 132人目の素数さん 2013/04/19 14:01:01
bとp-1が互いに素であるとする。

aの±1乗が生成元のとき、aの±b乗も生成元になるのかなって思った
119: 132人目の素数さん 2013/04/19 14:53:41
あと、a,bをpについての生成元、aのx乗=b、bのy乗=aとするとき、
x×y=1(modp-1)になるなーって思った。だから何なのかはよく分からない
120: 132人目の素数さん 2013/04/22 18:26:41
素数pの生成元の個数と
p-1と互いに素なp-1より小さい自然数の個数って等しいんだねえ
121: 132人目の素数さん 2013/04/22 18:42:31
ちなみに素数じゃない場合はこんな円になる

    2
10       6 
    1
  5   3
    14
  11   9
    13
8       4
    12
123: >>59 2013/04/27 00:17:29
>>59の想定解は大体>>118でした。実際は、
aが生成元のとき、「a^bが生成元⇔bとp-1が互いに素
と考えてた。

ざっくりと証明。
aを生成元、c=a^bとすると、
cが生成元
⇔ある自然数kが存在して、c^k≡a (mod p)
⇔ある自然数kが存在して、a^(bk)≡a (mod p)
⇔ある自然数kが存在して、bk≡1 (mod p-1)
⇔bとp-1が互いに素 □


>>119も正しい。指数法則から分かる。
149: 132人目の素数さん 2013/06/22 07:33:28
おおっ。
凄い事を発見した。
素数は全て奇数だ。
管理人より:2も素数。
162: 132人目の素数さん 2013/06/28 03:09:28
素数×2-1=素数
否定してくれ
163: 132人目の素数さん 2013/06/28 04:23:47
5×2-1=9
164: 132人目の素数さん 2013/07/03 09:09:02
速攻で反例があって吹いたw
165: 132人目の素数さん 2013/07/09 23:58:17
素数は絶対、六の倍数の右か左隣の数字
166: 132人目の素数さん 2013/07/10 10:32:21
>>165
有名
管理人より:2.3追記:コメ欄でドクターからご指摘があり、「2」と「3」を除く、だそうです。言われてみりゃそうですね。これはうっかり。笑
193: 132人目の素数さん 2013/08/07 13:06:08
素数とは素敵な数の略って初めて知った。
今まで素数を素朴な数だと思って良い印象は持っていなかったけど
これを大学の数学の講義でしってイメージが180度変わったよ。
管理人より:素数は「Prime number」の和訳ですけど、「素敵な数」の方が管理人は好き。
236: 132人目の素数さん 2013/09/29 18:49:23
結局どうすごいのか全然わかんない
237: 132人目の素数さん 2013/09/29 22:17:40
>>236
素数は何かの倍数+その倍数以下の素数
で成り立っているおってこと。
229: 132人目の素数さん 2013/09/28 23:31:20
なんという車輪の再発見スレw

このスレは奇跡的に荒らしがほとんど湧いてなかったです。
管理人は数学的な素養がゼロですので、すでに>>1の時点でよくわからないですが、数学好きなドクターにはきっと分かるはず…。笑
一応VIPによくあるような「数学sugeeeeってなるようなの教えて」的なやつよりは高度な内容を目指してますが、そうなると管理人にはついていけないというジレンマが。加減が難しい。

車輪の再発見とか、大学で習うとかいろいろいわれてますけど、自力で発見したなら管理人は素直にすごいと思う。
「車輪の再発見」大いに結構じゃないですか。過去の偉人たちと同じ結論にたどり着いたのなら、それは誇らしいことですよねぇ。
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元スレ:http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1364383650/

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    • ※1 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2014.2.2 23:11
    初めて拝見させていただきました。
    わかりやすい解説ありがとうございます。

    >>165にただし2と3を除くを追加でどうぞ
    • ※3 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2014.2.3 0:45
    修正ありがとうございます。初心者のための解説なのでなるべくわかりやすく…ですね。

    理由がわからない人のために追記をしておくと
    数字は1のあとは2の倍数、3の倍数、二の倍数、それ以外、2,3の倍数(6の倍数)、それ以外……
    というふうに繰り返して行くからです。お目汚し失礼しました。
    • ※4 :
    • 2015.4.8 23:43
    習って知っただけの連中が上から目線で滑稽ですわ
    • ※5 : 八方
    • 2019.11.17 8:40
    素数の定義がガバガバ過ぎるうえに、ただただその数と1だけしか整数の積を表せないと定義付けられている時点でもう数学的に証明できない気が…

    S+T=偶数(S、Tは素数、偶数は4以上)

    これなんかそれなら上記以外の定義がない限り、絶対証明できないよ
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