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26日と27日は、管理人多忙のため更新お休みです!

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点の長さは0だが点の集まりである線には長さが存在する @ [数学板]


点の長さは0だが点の集まりである線には長さが存在する @ [数学板]
1: 132人目の素数さん 2016/09/25(日) 13:45:18.63 ID:SJ6Bjxli.net
これはなぜ??
14: 132人目の素数さん 2016/09/25(日) 20:45:44.68 ID:LzYQQZ0l.net
公理だからです
15: 132人目の素数さん 2016/09/25(日) 20:55:53.24 ID:SJ6Bjxli.net
なんでそんな公理を採用したんですか
16: 132人目の素数さん 2016/09/25(日) 20:59:44.89 ID:LzYQQZ0l.net
あなたが認めたくないならば認めなければいいだけの話です
管理人より:認めたくないものだな、公理ゆえの定義などというものを…。「」とは、ユークリッド(エウクレイデス)の定義によれば、位置以外の情報を持たず、大きさ・長さなどは持たない…ということになっています。
また、公理からの演繹を重視する現代数学においては、「点とは何か」ということを直接に定義せず、単に幾何学的な集合(空間)の元のことであるとみなされる。これは、点(や直線など)を実体のない無定義術語として導入しておいて、その性質として幾つかの公理を満たすことを "要請" するという立場である。
28: 132人目の素数さん 2016/09/25(日) 22:59:18.03 ID:eh+0F7Iv.net
0を可算無限個足しても0だけど実数は可算じゃないし。
測度論の本でも読むと良い。
そもそも長さの定義をあなたは理解してないのでは。


あとそんな理屈くさいこと考えるのはもう止めましょう。
お金になりません。
29: 132人目の素数さん 2016/09/25(日) 23:33:29.49 ID:SJ6Bjxli.net
測度論は知ってるけど、なぜ測度は可算和について閉じてるのかの説明はなかった
むしろ、非可算和について(経験的には)閉じてないからあのような定義にしたと思える
33: 132人目の素数さん 2016/09/25(日) 23:57:25.10 ID:eh+0F7Iv.net
>>29
測度はというか可測集合が可算和で閉じてるのは定義じゃなかったかしら。
定義はそう定められてるから突っ込んでもしょうがないですよ。
測度論を知ってるんだった質問しないはずです。


何冊文献漁ったんですか?
知ってるなんて最低5冊くらいまともな測度論の本を読んでから言ってください。
偉い先生に怒られますよ。
43: 132人目の素数さん 2016/09/26(月) 13:07:18.39 ID:YTeTgxIy.net
>>29
便利だから可算和ができるように測度を定義したんだよ
非可算和はそもそも存在しない

EMANの物理学 過去ログ No.2337 ヒルベルト空間の次元
の一番下を参照
51: 132人目の素数さん 2016/09/26(月) 21:58:28.60 ID:Wcp9Mch4.net
>>43
実数においては,Σ演算は正に値をとるものが非可算だけあると常に+∞となってしまう.
そのため非可算の数の集合に対しては,その集合の性質を反映した和を実数で表現することは事実上不可能ということか
だから点のある種の非可算和である線分は,長さという実数の尺度はその和構造が保存しなくなってしまうんだな
ありがとう,わかった気がする.
管理人より:「測度」というのは、大きさに関する概念を緻密化・一般化したもの。ルベーグ積分などがあります。で、「測度論」とは、この測度に関する概念を扱う解析分野。
数学板はいつもアホが連投して荒らしがヒドイので、途中途中でレス番めっちゃ飛びます。
37: 132人目の素数さん 2016/09/26(月) 00:09:13.31 ID:yCyHtIBo.net
点の集まりは点の集まりであって、線ではない。
次元が違う。

sage希望
38: 132人目の素数さん 2016/09/26(月) 00:40:44.33 ID:mgNtjLEH.net
線の長さも0だとしたらどうやって線の大きさを比較するというのか
39: 132人目の素数さん 2016/09/26(月) 01:13:12.70 ID:BKScFjEl.net
点とはユークリッド空間の元である
長さはユークリッド距離である
57: 132人目の素数さん 2016/09/27(火) 15:23:53.18 ID:hMYXIRex.net
んな事言ったら、2次元でいくら面積を出しても3次元世界では全て体積が0になってしまう
だって2次元の厚みは0だから
106: 132人目の素数さん 2016/10/01(土) 12:53:09.45 ID:UpWeCXDZ.net
おい!スレタイで点の長さは0である、って断言してるじゃないか。
なら長さ0でなんの問題があるんだよ。
108: 132人目の素数さん 2016/10/01(土) 21:14:31.26 ID:yAUctY0k.net
>>1
線は点が移動した軌跡だからね

ちなみに見えている物は必ず3D以上なんだよ
235: 132人目の素数さん 2016/10/13(木) 23:08:46.37 ID:yYhIMo3v.net
[a, b] の長さが b-a なんだったら
{a} = [a, a] の長さは a-a = 0 になるがな
246: 132人目の素数さん 2016/10/14(金) 07:49:02.15 ID:0bN12TZW.net
>>235
お前はそれなりに大きい点でも、この点の長さは0ですって言うの?
277: 132人目の素数さん 2016/10/20(木) 12:17:05.77 ID:AMunRX0N.net
非可算無限和なんてふつう考えないし、実数の足し算の拡張として無理やり定義しても意味のあるものは得られない。
非可算無限集合の「大きさ」を表すには非可算無限和ではなくもっと別の概念を使う。

その一つが測度なのよ。
292: 132人目の素数さん 2016/10/31(月) 13:03:22.45 ID:TcXRvj3U.net
実数から高次空間への写像が「線」なんだよな。
点の集合は、その写像の像であって写像そのものじゃあない。
295: 132人目の素数さん 2016/10/31(月) 15:00:48.77 ID:LxyiT13Z.net
根拠ね
本当に>>292のような一般的な注釈でしかないなら、わざわざヒルベルトの公理に限定はすまい
296: 132人目の素数さん 2016/11/02(水) 13:28:19.85 ID:D/KdPoOl.net
>>292
そんな定義は幾何学基礎論にない
ヒルベルトの公理では点も線も無定義述語
297: 132人目の素数さん 2016/11/02(水) 15:50:16.70 ID:21uF+L4z.net
>>296
ヒルベルト幾何に「線の長さ」は定義されてたっけ?
ユークリッド幾何(ユークリッドの幾何ではなく)の話なら、曲線の定義は前述のとおり。
管理人より:「写像」とは、ある集合に対して別の集合を対応させる規則のようなもの。ここの説明はアホの管理人でもよくわかります。真ん中へんにある「果物の集合」と「値段の集合」の関係のようなこと→集合と写像 | JSciencer
あと何回も出てくるので「非可算無限和」などについても。ひとくちに「無限」と言っても無限の大きさというか「濃度」があり、自然数の集合(整数・有理数なども)と濃度が等しい場合を「可算集合」と言います。そして、実数や無理数・複素数の集合などそれよりも多いものが「非可算無限」。参考こちらあたり→集合の濃度と可算無限・非可算無限 | 高校数学の美しい物語
318: 132人目の素数さん 2017/01/04(水) 16:42:38.11 ID:1bZThzvc.net
>>1
点が集まって線ができるんじゃ無くて、線上の何処にでも任意に点を取ることができるのは点に大きさが無いからと逆に考えたらどうですか
319: 132人目の素数さん 2017/01/05(木) 10:52:47.39 ID:HLve2vqJ.net
>>318
で、その任意的の点を全て集めたら、もとの線に戻るかって話なんだと思う。
320: 132人目の素数さん 2017/01/05(木) 15:42:31.20 ID:aJ5QQbTJ.net
>>319
ですから戻らないと思います

米粒で茶碗を隙間なく満たせたとします
そのとき米粒の集まりは茶碗の形をしていますよね
でもそれは最初から茶碗がそこにあるからできることであって、米粒で茶碗そのものは作れません
321: 132人目の素数さん 2017/01/05(木) 15:47:47.45 ID:YL29Bx/e.net
>>320
戻ります
それが線分の定義です
322: 132人目の素数さん 2017/01/05(木) 23:46:34.47 ID:AsovTHD3.net
>>320-321
意見が割れてるね。
「全て集めることができない」あたりが落とし所のような気もしてきた。
323: 132人目の素数さん 2017/01/05(木) 23:48:02.62 ID:YL29Bx/e.net
できます
集めることはできても、隣に並べることができないんです
324: 132人目の素数さん 2017/01/05(木) 23:56:33.28 ID:TttMQenZ.net
連続体濃度の集合Aが与えられたとき、実数体の存在を使わずにAに順序(と演算)を入れて実数の公理を満たすようにせよ
ただし、Aに順序を定めるにあたっては、何らかの意味で「構成的」と思えるような手順だけを許す


漠然ながら問題を定式化するとこんなところだろうか
そもそもが感覚的で曖昧な問題だということは全員了解済みだと信じている
326: 132人目の素数さん 2017/01/06(金) 14:36:09.37 ID:RCfO6m1j.net
「連続体濃度」をどうやって表現するんだい?
327: 132人目の素数さん 2017/01/06(金) 14:46:30.19 ID:NcoYXHgN.net
2^aleph_0
331: 132人目の素数さん 2017/01/07(土) 12:24:47.89 ID:gn+TDN7n.net
>>327
2進数か
330: 132人目の素数さん 2017/01/06(金) 23:18:18.65 ID:NRhDJat2.net
確認しようと思って「アレフ系列」をググったら、びっくりドンキーが出てきてびっくりした。
「アレフ系列」の検索結果
管理人より:ほんとだー。オウム真理教の後釜である「アレフ」とは無関係です。
332: 132人目の素数さん 2017/01/11(水) 20:27:08.95 ID:KEv5jKlB.net
量の測度【新装版】 >>1
そのあたりのことは、アンリ・ルベーグの量の測度を読め。
話はそれからだ。
333: 132人目の素数さん 2017/01/13(金) 01:31:48.40 ID:3vtItftX.net
>>332
最近その本の翻訳復刊したけど、測度論とかに納得するような導入載ってたりするの?
335: 132人目の素数さん 2017/01/15(日) 00:41:58.10 ID:UhyqGtQE.net
>>333
数学が厳密な学門であるとでも思っているのかね?それは単なる幻想だ。

ということが書いてあるのだ。

数学は人間的なんだよ。
神様の作ったものではない。
数学は矛盾に満ちた汚い学門なんだよ。
頭の悪い奴に限って数学は美しいなどとほざくのだ。

笑える! (* ̄∇ ̄*)
343: 132人目の素数さん 2017/01/16(月) 13:16:59.53 ID:lNFSfYSs.net
「『数学』に理由を求めても答えは出て来ない」を読解できない奴がいる
345: 132人目の素数さん 2017/01/17(火) 12:51:20.01 ID:z534gkuM.net
読解できない=不合理な主張
346: 132人目の素数さん 2017/01/21(土) 17:09:26.74 ID:xkR1nqee.net
点には、どんなに小さい長さより小さい長さがある、0ではない。
と仮定して、どこかに矛盾が起きるか?
363: 132人目の素数さん 2017/01/23(月) 20:47:44.03 ID:k0X1hx4C.net
>>346
長さが有るならそれは線だと思う。
まかり間違っても点じゃないだろ、
347: 132人目の素数さん 2017/01/21(土) 17:18:28.05 ID:r5Q0VV08.net
全ての線分の長さは発散するという定理が得られます
349: 132人目の素数さん 2017/01/21(土) 19:53:51.88 ID:uwFVgEPx.net
>>347
ゼノンじゃあるまいし、現代人で極限や積分を知らないってことはなかろう?
何世紀の人間だよ。
350: 132人目の素数さん 2017/01/21(土) 19:57:37.78 ID:Zx2AchG0.net
>>349
(厳密に)正の実数からなる非可算集合Aに対して
Aに含まれる数の和=sup{Aの有限部分集合に含まれる数の和}=∞
348: 132人目の素数さん 2017/01/21(土) 19:01:51.85 ID:xkR1nqee.net
全ての?
長さ1センチメートルという線分はない?
ゼノン管理人より:「ゼノンのパラドックス」という有名な問題があるので、まぁ興味のあるドクターはどうぞ。「アキレスは亀に追いつけない」「飛ぶ矢は止まっている」など、これらは近代にいたるまでなかなか数学的に解決せず、難問として残り続けました。
358: 132人目の素数さん 2017/01/22(日) 15:06:40.23 ID:zru0gIau.net
0に限りなく近い正の数だから便宜上0にしてるだけ
長さがあったらそれは線になってしまう、点ではない
あくまで存在するためだけの極小単位をもっていると考えればいい
359: 132人目の素数さん 2017/01/22(日) 15:07:48.21 ID:fcAQaInM.net
>>358
具体的にはその数はいくつですか?
線とは、そのような便宜上の0の長さを持つ点の非可算無限個の和なので、長さの和が線の長さになるわけではないのですか?
362: 132人目の素数さん 2017/01/22(日) 22:22:01.70 ID:XmnC3mEB.net
1-0.999...=0
364: 132人目の素数さん 2017/01/24(火) 00:52:51.22 ID:1206Qbnk.net
長さじゃなくて直径な。
点の直径は、どんな実数よりも小さい直径だ。
全くの0ではないことを考えると、0には2つの性質がある。

0という性質と、微小数という性質。
そして、0と微小数は矛盾しない性質ということか。


まるで最先端の物理学の結論と同じだな。
365: 132人目の素数さん 2017/01/24(火) 08:31:17.72 ID:1206Qbnk.net
そのときの都合によって0になったり微小数になったりする点。
それを許している、それから構築されている数学は、厳密な学門ではない。

いつか大天才が現れて、解決してくれるだろう。
それは君かもしれない。
若者よ、大志をいだけ!
360: 132人目の素数さん 2017/01/22(日) 18:51:01.22 ID:71pNqIx3.net
単なる便宜上のものだから深く考えると矛盾が噴き出すんじゃないの?

数学なんて矛盾だらけなんだから悩んだら負け。
わかったふりして先に進んだほうが良いと思う。

冒頭がすっごい荒らしがひどくて、数学板でなんでいっつもこうなのかなーと思ってウンザリしてたんですが、300あたりからまともな流れに。
案外難しい問題なんでしょうか、これは。スレでは主に、幾何学よりは級数とか集合論の話になっています。「長さ」ってなんなのかだんだんわかんなくなってきますねぇ。

なんか途中から「点は微小数の長さ(大きさ)を持つ」なんていう流れですが、実際はそんな定義なんですか?
これいろいろ調べてみたら、「点」は数学的には定義はされてない(することができない)ってことなんですが、少なくとも「長さゼロ」ってことではないんだとか。

数学に強いかたに初歩的な質問です!
結論から言うと、「点の集まりが線」は間違ってますよ。
ギリシャ時代のユークリッド幾何学(第1巻・定義)において、

1 点とは部分を持たないものである
2 線とは幅の無い長さである
3 線の端は点である
(以下略)

と定義が与えられました。ただ、この定義は直感的には理解できますが数学的には不完全です(厳密には部分・幅・長さとは何かを定義しない限り理解できないため)。ただ、ここで「部分・幅・長さ」を定義しても、さらにその定義に現れる用語を定義する必要が出てきてしまい、これは無限に続いてしまいます。
なので、現代数学では「点」や「線」は定義をしない「無定義用語」とされています。
なので、厳密な定義はありません。つまり、「点の集まりが線である」と線を定義すること自体がナンセンスなのです。

なるほど。源流まで遡っていくと、いろんな問題が出るもんですね。
数学というのは、なんかいつもこんな感じですが、当人たちはどう思ってるのかな。たまにはウンザリしちゃわないんでしょうか。気になる。



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26日と27日は、管理人多忙のため更新お休みです!
    • ※1 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2017.6.19 21:19
    数学では全てが定義されてると思ってたが無定義用語なんてあるのか…
    • ※2 : 名無し
    • 2017.6.19 21:40
    点は便宜上可視化してるだけで座標を表す概念に過ぎない、点をいくつ並べようが長さという性質は持たない
    • ※3 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2017.6.19 22:04
    この辺の話しだと哲学っぽい雰囲気になりますねえ
    アキレスと亀の話しが思い浮かぶw
    • ※4 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2017.6.20 6:15
    学問はあくまで人間の生み出した便利な道具であることを実感できる
    • ※5 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2017.6.20 8:17
    数学は哲学だったんだな。
    点とか線て、もはや概念だよなコレ。
    • ※6 : 名無し
    • 2017.6.20 14:43
    微小な大きさです
    • ※7 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2017.6.20 20:52
    >>43
    >便利だから可算和ができるように測度を定義したんだよ
    >非可算和はそもそも存在しない
    非可算和を考えるなら対象となるa(k)は無限小を含む超実数のようなものでなければ対称性が悪いよなぁ
    単に、対称性がないから和の定義が存在できなくなったのでは?
    と素人考えながら思ってしまった。
    測度論なんだから対象は実数じゃなきゃハチャメチャではあるでしょうけれど。
    • ※8 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2017.6.20 21:06
    ※7 のオマケ
    自分は数学者じゃないけれどHaskell(コンピュータのプログラム言語)なんかを使っていて思ったことは
    無限が絡むときは必ず思考順序の問題になっていると思った。
    線は、点と点の間に考えられて、二点を考えた後から間の点を考える。
    後から考える何かにラベルを付けたものが無限概念の何かみたいなもので
    線を構成する点は、線を提示された段階ではその間の点は考察されていない、後から前提条件にあうように都合よく決定される物。
    無限にある点とは後から好きなように考察できるよという意味しかないと思いました。

    有名な対角線論法も、真の意味は「全て列挙できない」ではなくて、後だしじゃんけんが許されるなら、そういう数列が作れますという事実を見せてくれたに過ぎないと思った。
    なんか取り留めの無い話ですが
    • ※9 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2017.6.22 0:15
    長さを規定するために2つの情報が必要だから、
    1つの情報しか持たない点には長さが規定できない。
    けれども、情報が無数に集まれば、
    点の持つ情報そのものとそこから推定できる情報が存在するようになって
    結果として線が成り立つ、みたいなイメージ
    • ※10 : ななし
    • 2017.6.22 19:25
    0点も何回も取るとハリ戦で叩かれる。
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