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虚数とか複素数ってなんですか? @ [数学板]


虚数とか複素数ってなんですか? @ [数学板]
1: 132人目の素数さん 2016/11/30(水) 18:14:24.34 ID:eB2ZNtUO.net
誰か教えてください
管理人より:荒らしがすげくて、それを避けてるからレス番がところどころめっちゃ飛んでるし、話題もぶつ切りです。
11: 132人目の素数さん 2016/11/30(水) 18:30:35.21 ID:LPNI1lrU.net
実数って何か分かりますか?
12: 132人目の素数さん 2016/11/30(水) 18:31:09.27 ID:eB2ZNtUO.net
実数はわかります
20: 132人目の素数さん 2016/11/30(水) 18:46:11.77 ID:kvFXndjl.net
座標平面って何か分かりますか?
31: 132人目の素数さん 2016/11/30(水) 19:04:54.75 ID:eB2ZNtUO.net
xy平面のことですか?
32: 132人目の素数さん 2016/11/30(水) 19:32:50.41 ID:hG8FJ4fj.net
2乗したらマイナスになる数のことです
43: 132人目の素数さん 2016/11/30(水) 19:40:06.28 ID:SDFAhgF4.net
>>32
実数でないものに積をどうやって決めるのですか?
44: 132人目の素数さん 2016/11/30(水) 19:42:35.96 ID:hG8FJ4fj.net
>>43
(a+bi)(c+di)=ac-bd+(bc+ad)i
と定義します
a,b,c,dは実数であり、a+biのように表される数を複素数といい、iを虚数単位といいます
45: 132人目の素数さん 2016/11/30(水) 19:45:44.69 ID:SDFAhgF4.net
2乗したらマイナスというのは負の実数のことですか?
46: 132人目の素数さん 2016/11/30(水) 19:47:29.13 ID:hG8FJ4fj.net
>>45
(-1)^2=1とかになりますから、違いますね
マイナスを二乗したらプラスになるんです

あなたは質問者ですか?
56: 132人目の素数さん 2016/11/30(水) 19:50:43.72 ID:SDFAhgF4.net
>>46
はい そうです
すみませんid変わってました
62: 132人目の素数さん 2016/11/30(水) 19:52:10.78 ID:SDFAhgF4.net
虚数単位 i
とはどういうものなのでしょうか?
69: 132人目の素数さん 2016/11/30(水) 19:53:45.36 ID:hG8FJ4fj.net
>>62
普通の文字のように扱っていいです
ただ、i同士をかけると-1になるわけですね
73: 132人目の素数さん 2016/11/30(水) 19:55:35.31 ID:SDFAhgF4.net
実数は複素数全体に含まれるのですか?
74: 132人目の素数さん 2016/11/30(水) 19:56:21.32 ID:hG8FJ4fj.net
iの係数が0のものだとみなすことができますよね
85: 132人目の素数さん 2016/11/30(水) 20:03:53.06 ID:SDFAhgF4.net
複素数は実数を含んでいて、複素数全体には和と積が定義されている
そして、それは実数の和と積の拡張になっている

ということですか?
88: 132人目の素数さん 2016/11/30(水) 20:20:38.46 ID:hG8FJ4fj.net
>>85
そういうことでいいでしょうね

zを解とすれば
a0+a1z+a2z^2+...+anz^n=0
を満たしています
これの共役をとれば
a0+a1z*+a2z*^2+....+anz*^n=0
が成り立ち、これはz*もその方程式の解であることを示します
93: 132人目の素数さん 2016/11/30(水) 20:53:10.91 ID:SDFAhgF4.net
>>88
は 0の共役は0で、共役は和でも積でも分けられて、実数の共役はそのままだから、ということだったんですね

わかりました ありがとうございます
101: 132人目の素数さん 2016/12/01(木) 00:26:54.29 ID:IzooBQWU.net
>>85
書いてることは合っているが、それだけではまだ複素数の性質の一部でしかない。
管理人より:数学にいう「複素共役」とは、
複素数に対し、その虚部の符号をいれかえたものである。
ナンノコッチャというわけで、今少しわかりやすい説明。
「きょうえき」ではなく「きょうやく」と読みます。
複素数 a+bi(ただし(a,b)(a,b) は実数)に対して a−bi を共役複素数と言います。複素数は2つで1つのペアをなしていると捉えることができるのです。複素数 「z」 の共役複素数を 「z (zに上線)」と表します。
共役複素数の覚えておくべき性質
87: 132人目の素数さん 2016/11/30(水) 20:17:08.08 ID:SDFAhgF4.net
実数を係数とする方程式が複素数を解に持つなら、その共役な複素数も解になる

というのはなぜですか?
質問ばかりですみません
102: 132人目の素数さん 2016/12/01(木) 00:31:22.25 ID:IzooBQWU.net
>>87
それが、「共役」という言葉の意味だからだよ。
日常的には「複素共役」と略称するが、代数学上は「複素数の実-共役」だな。
89: 132人目の素数さん 2016/11/30(水) 20:26:48.02 ID:SDFAhgF4.net
共役をとったあと
a0+a1z*+a2z*^2+....+anz*^n=0
のような式になるまでをもう少しくわしく教えていただけますか
90: 132人目の素数さん 2016/11/30(水) 20:32:47.55 ID:1+vTQ2mp.net
初めてこのスレに書き込みます。私なりの解説です。

正の数も負の数も、2乗すると正の数になります。
そのため「実数を2乗すると負の数になる」ことはありません。

そこで、実数以外の数として「-1の平方根」を無理やり作ります。それを「i」と書き「虚数単位」と呼びます。
a,bを実数として「a+bi」の形の数を「複素数」と呼びます。もちろん、aやbが0であってもよいです。b=0の場合が、実数に相当します。

bが0でないとき、a+biを「虚数」と呼びます。(つまり、「実数以外の複素数」のことです。)
a=0で、bが0でないとき、「bi」を「純虚数」と呼びます。
91: 132人目の素数さん 2016/11/30(水) 20:41:29.21 ID:SDFAhgF4.net
>>90
実数以外で平方根を作ろうとすると、実数以外でかけ算を考えないといけないと思うのですが、どのように考えればいいのでしょうか?
92: 132人目の素数さん 2016/11/30(水) 20:44:49.99 ID:hG8FJ4fj.net
>>91
考えなくていいのですよ
実数の平方根?と定義することもできますがめんどくさいのです


>>89
(ab)*=a*b*
aが実数のとき、a*=a

これを使いましょう
95: 132人目の素数さん 2016/11/30(水) 21:13:26.32 ID:hG8FJ4fj.net
複素数を先に定義してしまえばいいのです
そうすればiと-iが平方根になります


さっきの>>92は他の話と混ざりました
忘れてください
94: 132人目の素数さん 2016/11/30(水) 20:59:28.71 ID:SDFAhgF4.net
実数の積しか定義していない段階では-1の平方根は存在しないと思うのですが、実数以外の積を考えずにとうやって-1の平方根を作ればいいのですか?
96: 132人目の素数さん 2016/11/30(水) 21:13:28.45 ID:Grxid0IB.net
体の拡大でも勉強しろ
97: 132人目の素数さん 2016/11/30(水) 21:23:22.39 ID:SDFAhgF4.net
>>96
体の拡大を勉強すれば
複素数体は実数体に i を添加した体
複素数体は実数を係数とする多項式環を多項式x^2+1 で生成されるイデアルで割った環(体)とみなせる
というのは理解できるようになりますか?
114: 132人目の素数さん 2016/12/01(木) 11:43:15.60 ID:7fWLwlru.net
>>97
お前次第
103: 132人目の素数さん 2016/12/01(木) 00:32:13.20 ID:tCUO4ulm.net
代数方程式の解
116: 132人目の素数さん 2016/12/01(木) 14:03:56.04 ID:IzooBQWU.net
>>103
正解。
体の拡大K/Lについて、Lの元がK-共役であるとは、共通なK上既約代数方程の解になっていることをいう。
実/複素は体の2次拡大だから、その代数方程式の次数は2または1で、1の場合が実数、2の場合が虚数。
共役複素数はひとつの実2次方程式の解ということだ。
128: 132人目の素数さん 2016/12/02(金) 17:48:11.66 ID:IqV2A6ZS.net
頭でイメージしにくい概念は良く分からん
極座標の計算なら仕事でも使うからイメージ出来る
129: 132人目の素数さん 2016/12/07(水) 21:24:00.18 ID:Q0K9Migw.net
>>1
ない数
157: 132人目の素数さん 2016/12/23(金) 01:56:35.35 ID:pryHaUMC.net
虚数が必要となった理由は?
158: 132人目の素数さん 2016/12/23(金) 03:49:25.32 ID:06iuOQ6r.net
だって、二次方程式くらいいつでも解きたいじゃない?
代数学の基本定理やコーシー・リーマンの関係式まで、最初から見通してたわけでもなかろうけどさ。

ジェロラモ・カルダーノ差し迫って二次方程式の虚数解を求めたかった理由は、三次方程式をカルダノの方法で解くときに、3実解を持つ場合だと二次方程式の虚数解を経由しなければならなかったことにあるそうな。
解が実であるときに補助方程式の解が虚になる、という話は、虚数解の実在感に大きく影響したらしい。
174: 132人目の素数さん 2016/12/25(日) 00:01:59.94 ID:A+3zJFAv.net
【複素数の歴史】

-曖昧な時代-
ある型の代数方程式の根を表すため、負のn乗根の存在を仮定し、数を拡張する
拡張された数はx+y√(-1)と表せる
x-y平面上の点と見なせる
拡張された数では代数方程式が必ず根を持つことが予想され、後にほぼ厳密に証明される

-厳密な時代-
平面上の点(x,y)に形式的な(それ故に厳密な定義として)演算を導入した体系を考えると、自然に実数の拡張と見なせる
厳密に拡張された数には-1の平方根√(-1)が存在し、厳密に拡張された数はx+y√(-1)と表せる
厳密に拡張された数では代数方程式が必ず根を持つことが証明される


※分かりやすくするため、ここでは実数の厳密な定義を巡る話は無視した
187: 132人目の素数さん 2016/12/25(日) 09:47:32.92 ID:9NS1rBSM.net
>>174
体上の多項式環を既約元の単項イデアルで割ると、体ができる。
解の無い代数方程式が解を持つような拡大体が定義できるということ。
歴史的にも、複素数は xx+1 の分解体として導入された。
管理人より:「」とは、
数学において、体(たい)という用語は、四則演算が(零で割ることを除いて)自由に行える代数系に用いる。日本語の語法として、体の定義においてはその積が可換か非可換かについて必ずしも注視しないが、積が可換かそうでないかで目的意識や手法は大きく異なる。
あ、頭が…('A`)
219: 132人目の素数さん 2017/08/19(土) 20:55:36.90 ID:brzMMNxV.net
整数と群・環・体
304: 132人目の素数さん 2017/11/27(月) 00:45:00.72 ID:nqIdA7qk.net
おい虚数 ちょっとこっち来い


おまえかわいいな^^
305: 132人目の素数さん 2017/12/27(水) 15:13:17.72 ID:uyGelgwQ.net
虚数にアイを求める>>304
306: 132人目の素数さん 2018/01/10(水) 19:15:52.77 ID:TXoJ2RJx.net
分数階微積分学(Stochastic calculus)に意味が数式で書いてあるよ
意味はわりと単純
学校で習うのは直交系における虚数
307: 132人目の素数さん 2018/01/11(木) 12:57:08.81 ID:CJr0Eg4X.net
嘘の数(あたしもしローと)
308: 132人目の素数さん 2018/01/13(土) 02:52:51.34 ID:8oWXJ1ub.net
最近は「嘘数」って教えてんのか?
文科省なら、やりかねんけどさ。
328: 132人目の素数さん 2018/01/22(月) 19:16:00.44 ID:IRKugHwg.net
学生の時はなんでこんなものが必要かと意味不明だったが、ベクトル表現無しに代数式上実数と直交(独立)させるために考案した数が虚数だったと知った
最初に考えついた人は天才やな

-1と-1をかけ合わせれば、プラスになるのでして、
-1×-1=-1
となる数は存在しないのですが、もし存在するとしたら…、アーラ不思議!という謎の存在・虚数さん。これで実軸のみでは解けなかった問題が解けるようになるのです。

スレでもちょっと出てましたが、アラビア数字の普及とともにヨーロッパで会計算術が大流行した16世紀、会計士たちの得意とする算術は秘中の秘であったと言われます。
レオナルド・ダ・ヴィンチの友人でもあった医者・占星術師のジェロラモ・カルダーノは、知り合いの会計士に三次方程式の解法を「絶対内緒だぜ!!」という条件付きで聞き出すことに成功。
しかし、アッサリと約束を破って自著「アルス・マグナ」の中でその解法を公開してしまうのです。この解の中に、後の世に言う「虚数」の概念を世界で初めて導入しました。
また、この本の出版は、それまで「数秘術」と言ったような閉じられた世界だった数学を、大々的に世に知らしめる効果があったとも。

どっかでも書いたと思いますが、このカルダーノというひとは、典型的なルネッサンス型の天才であり、法王を診察するほどの名医としても知られます。
スコットランドのセント・アンドリュース大司教が喘息で苦しんでいるのをはるばる診察に来たカルダーノ、羽毛の枕をやめてみては…と進言し、喘息をピタリと止めてみせたとか。アレルギー症の発見です。

サイコロ賭博に興味のあった彼は、確率論のハシリのような研究もやっており、
ギャンブラーにとっては、全くギャンブルをしないことが最大の利益となる
なんていう気の利いた言葉も残しています。

占星術師としても知られるカルダーノ、イエス・キリストのホロスコープ(個人が生まれた際の惑星の位置などを記した図)を制作し、「不敬だ」ということで投獄されたことも。
占星学的に自分が死ぬ日を予言したのですが、その日になっても死ぬ気配がないので、やむを得ず自殺したそうです。
天才というのは何を考えてるやらわからないものですよ。

…という、アホの文系ぽい巻末欄でお茶を濁す管理人。四則演算がギリ!みたいな文系人間なので、これで許していただきたい。('A`)
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    • ※1 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.4.29 17:05
    虚数とは映画で言う所のマクガフィン
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