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【激論】ツイッターの封筒問題について @ [数学板]


【激論】ツイッターの封筒問題について @ [数学板]
1: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 01:02:11.49 ID:3NeGq4o+.net
2つの封筒問題
2つの封筒があり、一方の封筒に入っている金額はもう一方の封筒に入っている金額の2倍である。
一方の封筒を開けると1万円入っていた。あなたはそのままその1万円をもらってもいいし、もう一方の封筒と交換することもできる
そのまま1万円をもらった方が得か、それとも交換したほうが得か。
管理人より:このころ、Twitterでバズったらしいです。「2つの封筒問題」についてはスレで存分に語られるので、注釈省略。
2: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 01:04:49.89 ID:3NeGq4o+.net
これ正解なんなの?
4: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 02:31:54.12 ID:pa6c7h9s.net
>>2
正解は、換えたほうが得だと思えば換える、
換えないほうが得だと思えば換えない。
カンだけが頼りだ…というのが、数学的答え。
5: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 04:28:46.16 ID:eDabyYFA.net
>>4
いい加減なこと言ってんじゃねえぞ!
鼻くそ喰わすぞ、ダボが!
6: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 06:08:53.61 ID:pa6c7h9s.net
>>5
いいかげんじゃあない。数学上の正解だよ。

この問題は、「ひとつの封筒があって、2万円か5千円かのどちらかが入っている。この封筒(中身ごと)を1万円で買うか?」と同じ。
封筒の中身が2万円か5千円かを判断する材料がなにひとつ無い以上、換えたきゃ換えるだけだ。

たまに、これを確率の問題と勘違いする奴がいるが、確率が何だかカケラも知らないからなんだろう。
7: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 07:09:50.11 ID:eDabyYFA.net
>>6
すま○こ。論理の問題か。
831: 132人目の素数さん 2016/02/16(火) 21:05:57.13 ID:PJre2dk4.net
>>6で終了してる
3: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 01:06:39.78 ID:9yrpplEP.net
フェイスブックに封筒は無いの?
8: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 07:23:02.45 ID:FziTP0Y+.net
論理なんて全然関係無いよ。
考えれば解けるはずの問題だと思って数字をこねくりまわすバカを眺めて愉しむ題材。
9: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 07:50:42.11 ID:TKGvFvGW.net
1/2の確率で大きい方、1/2の確率で小さい方をとる
従って1/2の確率でもう一方は5000、1/2の確率でもう一方は20000
期待値12500
11: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 08:14:54.52 ID:tSLRKfuz.net
>>9の回答好きだわ。
これなら変えた方がいいって言える気がするな


50%で10000円得して 50%で5000円損する
単純に言ったら5000円は得できるって考えていいはずだもんな
13: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 08:56:28.74 ID:pa6c7h9s.net
>>9
その 1/2 て数は、どこから涌いて出たんだ?
計算するのと、計算するふりをするのは、違うぞ。
14: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 09:11:17.84 ID:tSLRKfuz.net
>>13
他の値が何も無い上で1万入ってたから1/2で5000円って事だろ。
どっちか分からないから5分5分なんだよバーカ
16: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 09:44:26.58 ID:pa6c7h9s.net
>>14
机の上にトランプの山がある。
一組52枚よりはだいぶ少ないが、何枚あるのかパッと見では判らない。
各マークのうちわけも知りようがない。

この山から1枚ひいて、赤である確率はどれだけ?
赤と黒だから 1/2 ?ww
18: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 10:24:35.15 ID:tSLRKfuz.net
>>16
確かにどっちがどの確率で入ってるか書いてないな。
26: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 14:14:17.26 ID:4pxElNzm.net
確かに2万円が入ってる確率と5000円が入ってる確率は同じとはどこにも書いてないな
>>16の言う通りだ
29: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 15:06:32.47 ID:uLArELlr.net
>>26
X円が入ってる封筒と2X円が入ってる封筒があるんだから1/2では?
31: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 15:13:23.63 ID:uLArELlr.net
あと>>16は52枚の中から無作為に選んだカードから確率を考えて、赤を引ける確率は1/2になんないの?
黒か赤が多くなる確率も同じになる確率も同じなんだから。
33: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 15:45:10.48 ID:pa6c7h9s.net
>>31
山を作るのにカードを無作為に選んだなんて、誰が言った?

妹が美術部でコラージュ作品を作るのに使った残りなんで、画面に相応しいカードが抜けている。
何が抜けているかは、知らない。
41: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 22:08:18.58 ID:uLArELlr.net
>>33
故意だとしても極端な話、切り崩した山が全て赤の確立も全て黒の確立も1/2だろ?
743: 132人目の素数さん 2016/02/08(月) 02:55:04.14 ID:fdjmQ5Ut.net
>>16
当然1/2でよい。
10: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 08:07:55.90 ID:3NeGq4o+.net
封筒A(以下A)に1万、封筒B(以下B)に2万入っていると仮定し、換えるパターンと換えないパターンを表すと以下の通り。

1、A開封→そのまま=利益1万
2、A開封→Bに変更=利益2万
3、B開封→そのまま=利益2万
4、B開封→Aに変更=利益1万


よって利益が増える確率も減る確率も同じなので、封筒を換えることによる確率の誤差?は生じない。
っていうのが数学的答えなんじゃないん?
少なくともカンが数学的答えとか恥ずかしくて言えなよ俺は
12: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 08:16:02.00 ID:tSLRKfuz.net
>>10
2万が入ってると限らないだろ
1万が入ってる時点で反対は5000か2万だよ
15: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 09:25:27.99 ID:3NeGq4o+.net
>>12
だから仮定するっていってんじゃん。
1万と5000でも同じだよ。
一方の封筒選んだからといって、もう一つの封筒の金額が変わる訳ないだろ?
17: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 10:22:43.74 ID:tSLRKfuz.net
>>15
開けるまではもう片方がいくら入ってるかわからない
そこには5000円か20000円が入っている
だから1/2なんだろ?
25: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 13:57:06.20 ID:uLArELlr.net
>>17
もう一度いうけど、一方の袋を開いたからといって、もう一つの封筒に入っている金額が変化する訳ないでしょ。
君の考えだとX円が2倍になるか1/2になるかっていう視点だと思うけど、X円入った封筒と2X円入った封筒があると考えれば話は別でしょ?
24: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 12:36:43.80 ID:3NeGq4o+.net
つまりは最初に空けた封筒の金額X円の半分を投資して3倍にする賭けに乗るか否かって問題なんだから、換えた方が統計的に儲けれるのでは?
27: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 14:16:07.34 ID:pa6c7h9s.net
>>24
その期待値計算は、間違っている。
もうひとつの封筒の中身が2万円である確率、5千円である確率が不明なのだから、交換した場合の金額の期待値は計算できない。


期待値が求められるのは、どれが出るかは不定だが、各値が出る確率は判っている場合で、その確率を計算に使う。

二封筒問題では、2万円が出る確率5千円が出る確率は判っていない。
30: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 15:09:29.64 ID:uLArELlr.net
とどのつまり封筒AとBのどちらを取るっていう問題なんだから結局変わらんのか
32: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 15:25:21.94 ID:eDabyYFA.net
>>30
分かりやすいな。
39: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 17:21:24.37 ID:pa6c7h9s.net
コインの裏表が等確率であることとか、サイコロの各目が等確率であることとか、そう仮定してオカシイことは何もないが、そう仮定しなければいけない理由もない。

こういう慣れきった仮定の置き方について、きちんと言及せずに、コインだから 1/2 とかサイコロだから 1/6 とか暗黙で仮定しまうことは数学ではありえないことだが、中学高校の算数では頻繁に行われている。
そういう誤った教育に適応して育ってしまうと、あたりまえのことが意外に理解しにくくなってしまうのだと思う。

二封筒問題では、もうひとつの封筒が2万円である確率が 1/2 だと仮定する理由は何も無い。
根拠の無い仮定の下に計算すると、根拠の無い答えが得られる。
42: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 22:16:20.50 ID:uLArELlr.net
>>39
最初に
「一方の封筒に入っている金額はもう一方の封筒に入っている金額の2倍である。 」
って書かれてんだから、もう一方の袋には自分が開けた封筒の倍の金額が入っている確率は1/2固定でしょ。
なんかBの封筒を開ける際に5000円か20000のどちらかになるって考えてる人が多いけど、最初から「10000と20000」か「10000と5000」って考えた方がいいと思うんだが。
40: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 19:09:40.92 ID:90avrhlq.net
しったかのアホがツイッターで封筒問題のマネゴトをしてみるも、案の定、条件の書き忘れで数学板でツッコミを受けるという構図
43: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 22:38:07.83 ID:uLArELlr.net
新しく質問なんだが、この封筒問題を切り崩した話
「X円(1万円)入ってる封筒と2X(2万円)入っている封筒のどちらを取るか」【()の中の金額は選ぶ人にはわからない】
ってなると思うんだけど、その場合2X円を取れる確率はX円が入っている封筒を開けたとしても1/2だよね。
でも「所持金の半分(5千円)を使い1/2の確率で3倍(1万5千円)になる賭けをしますか」っていう問いがあったら当然その賭けに乗った方が得と思えるのはなんで?
元から金額は固定してあるかしていないかの違い?
44: 132人目の素数さん 2015/12/03(木) 00:27:31.93 ID:gXVUJcSI.net
二つある封筒の内、高額側の封筒を選ぶか、低額側の封筒を選ぶか
という問い方をすれば、それは、両方とも1/2。
しかし、封筒を開けて、中身を確認し、入っている金額が判った瞬間、今選んだ封筒が高額側だったか低額側だったかという問いは、元々20000円と10000円が用意されていたか、10000円と5000円が用意されていたかという問いと同値になり、それはどちらのセットが用意されていたかに依存するため、「確率不明」に変化する。
(中身を確認した瞬間、「確率が変化する」というのが、気持ちが悪い人が居るようだが、慣れるしか無い。)


中身を確認し、それをXとしたとき、もう一方の封筒の中身が、2Xなのか、X/2なのかは、元々Xと2Xがあったのか、XとX/2があったのかに依存し、それは問題では確認できない。
文字に置き換えても、内容に変化は無い。

新しく出された問題は、勝ち負けの確率が1/2づつと確定している。
従って期待値が計算でき、期待値が大きくなるのだから、チャレンジする方が得


二封筒問題は、最初に用意されていた封筒のセットが、「20000円と10000円」である確率と、「10000円と5000円」である確率が不明であるため、期待値が計算できなく、判断のしようが無い
45: 132人目の素数さん 2015/12/03(木) 01:17:32.91 ID:5NMgLyGy.net
>>44
2万と1万のセットか、1万と5千のセットかは、確率不明じゃなくて1/2ちゃうの?
65: 132人目の素数さん 2015/12/04(金) 05:36:24.93 ID:YWljAUh4.net
>>62
>>44
67: 132人目の素数さん 2015/12/04(金) 09:40:22.74 ID:s8tS//LJ.net
>>65
シミュレーションじゃなく、計算で求めてしまう手もある。

2万1万の組が用意されている確率をpと置く。
5千1万の組が用意されている確率は1-pになる。
…[1]


ふたつの封筒から確率1/2でひくならば、2万1万の組から2万をひく確率はp/2、
2万1万の組からに1万をひく確率もp/2、
5千1万の組から5千をひく確率は(1-p)/2、
5千1万の組から1万をひく確率も(1-p)/2。

さて、ここで、ひいた封筒が1万である条件下に、もうひとつの封筒が2万である条件付き確率は、
(p/2)/{(p/2)+(1-p)/2}=p。
よって、もうひとつの封筒が5千である条件付き確率は、1-p。
…[2]
68: 132人目の素数さん 2015/12/04(金) 09:42:27.52 ID:s8tS//LJ.net
>>67の計算で、
[1]の確率が与えられていれば、[2]の確率か判って、ひいた封筒が1万である条件下の期待値が求まる。

逆にシミュレーションで[2]の確率を推定すれば、[1]の確率を推定したことにもなる。(ベイズ推計)


どちらも判っていなければ、どちらも判らない。それだけの話だ。
p=1/2が出てくる理由は、何も無い。
74: 132人目の素数さん 2015/12/04(金) 19:43:02.58 ID:rftredeB.net
>>67
どう考えてもその計算式おかしいだろ。
1万ともうひとつが2万か5千かの確率が違ったとしても、確定してる2つの封筒から引く確率が1/2から変動する意味がわからん。
頭大丈夫か?
75: 132人目の素数さん 2015/12/04(金) 20:00:43.82 ID:LsZdel3Z.net
>>74
出題者の99%がケチで5千円と1万円を入れ、1%だけが1万円と2万円を入れたとしよう
そこで200回封筒を引くと平均して、99回は5千円を引き、100回は1万円を引き、1回は2万円を引くだろう
その100回の中でもう片方が5千円である可能性と2万円である可能性は同じか?
78: 132人目の素数さん 2015/12/04(金) 20:24:18.78 ID:rftredeB.net
>>75その確率なら確かに違うけど、
「2万1万の組から2万をひく確率はp/2」
はありえんだろ。なぜおかしいと思わない

それに>>76でも言ったが、結局99%2万を入れる人と1%5000を入れる内訳も存在するので、平均確率は5000入れる確率と2万入れる確率は1/2になるから。
83: 132人目の素数さん 2015/12/04(金) 21:08:52.81 ID:s8tS//LJ.net
>>78
「2万1万の組から2万をひく確率」
は言葉遣いが悪かったかもしれん。反省した。

「用意された組が2万1万であって、かつその中から2万をひく確率はp×(1/2)」とでも書くべきだったか。
59: 132人目の素数さん 2015/12/03(木) 23:36:10.36 ID:QuXUV8+m.net
50%ずつの損得の累計で計算すればわかるだろ。
1000回でも100回でも同じ。
60: 132人目の素数さん 2015/12/04(金) 03:44:12.51 ID:s8tS//LJ.net
>>59
その実験をするときに、どのくらいの頻度で2万と1万のセットを仕込むか、どのくらいの頻度で1万と5千のセットを仕込むかで、結果は違ってくるからね。
やってみれば、すぐ判る。
62: 132人目の素数さん 2015/12/04(金) 05:17:59.91 ID:rftredeB.net
>>60
それは主旨が違うだろ。
お前のは1万円と5千円か1万と2万の「1万円を獲得できる確率」になってる。
でもこの問題の主旨は「2つの金額の内の大きい額を取れる確率」なんだよ。
そういうのを理解してない馬鹿が多い。
61: 132人目の素数さん 2015/12/04(金) 04:14:56.19 ID:tB/a14ae.net
問題文からは自然に確率が求まりそうだけど、実は求まりませんといういい例だと思う

とゆわけでですね、長らく確率論の話やってなかったので久しぶりに投下。今回は「2つの封筒問題」!

…なのですが、なんかこの確率の話って、問題をどう解釈するかとか、問題に書かれてない部分をどう読むか、みたいな話題に終始してて、「結局どうとでもなる」みたいなことが多いですね。
だんだん書くことがなくなってきましたよ。

二つの封筒問題; 非ベイジアン的方法
数学的に考えるとこうなる、という例。まぁ興味のある方は見てみてくださいよ。数式だらけでよくわからないですが、なんかものすごい高度な問題みたい!

2つの封筒問題:交換のパラドックス - その、期待できない「期待値」
いまひとつわかりやすい(?)解説。なげーー!!!

とにかくですね、この一見単純に見える問題で、数学板は大盛り上がりなのですが、それもそのはず、この問題自体けっこう前から議論の多いテーマで、初出は1950年台だそうです。
最初に問題文考えたひとが誰か知りませんが、何回も何回も引用されるうちに、問題文もちょっとづつ変わってそうだし、これぞ本家本題文!というのはよくわからなかったです。

まぁいずれにせよ確率の話は、数学好きなうちのドクターも好きそうだし、コメ欄が盛り上がればいいなと思う次第です。

以下お知らせ:多忙のため、明日の更新おやすみです!
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    • ※1 : 名無し
    • 2018.6.6 21:44
    モンティ・ホール問題かと思ったら違った
    • ※2 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.6.6 21:58
    そもそも高い方を見た確率と低い方を見た確率だから1/2でいいと思うんだが
    1万or5000の場合で1万円の方見る確率は1/2だろ?
    2万or1万の場合で1万円の方を見る確率も1/2

    なら片方の封筒に入ってる金額が5000か2万かも1/2でしょ?
    見た後の確率だけで考えようとしてるから混乱するんじゃない?
      • ※11 : ドクター・ノオ・ネーム
      • 2018.6.7 0:22
      >※2
      本スレでは「もう一方の1/2の封筒と2倍の封筒が同率で用意されてると明言されてないので偏りがあるかもしれん。それじゃ計算できねえ」的な不毛な言い合いになってるよねえ
        • ※15 : ドクター・ノオ・ネーム
        • 2018.6.7 0:37
        >※11
        不毛ではなく、それがこの問題の本質であり答えでもあるんですが
          • ※29 : ドクター・ノオ・ネーム
          • 2018.6.7 23:10
          >※15
          1万円確認させてから封筒に金入れるんなら確率の議論するのは分かるけど
          既に封筒が用意されてて、たまたま見た方に1万円入ってたんだろ?
          議論の余地なく1/2だよ
    • ※3 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.6.6 22:03
    文系人間としての意見
    得かどうかが争点なんだったら、自分が最低欲しいと思う金額を設定する必要があるんじゃないか?
    5000円でも貰えたら嬉しいのなら交換するべきだし、
    10000円は欲しいのなら交換しないほうが良いと思う。
    そんでもって20000円以上欲しいのなら交換するべきだ。
      • ※4 : ドクター・ノオ・ネーム
      • 2018.6.6 22:04
      >※3
      俺なら1万円欲しいわ(文系脳)
    • ※5 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.6.6 22:14
    子供にこういうお年玉の渡し方、しようね!
      • ※12 : ドクター・ノオ・ネーム
      • 2018.6.7 0:23
      >※5
      これを見て1/2じゃねーなって思ったわ
      俺の姪っ子にお年玉でこれやろうと思ったらまず間違いなく2万円入れとく
        • ※13 : ドクター・ノオ・ネーム
        • 2018.6.7 0:29
        >※12
        姪っ子が2万円の方の封筒みて1万円の方に変更しちゃうかもしれんよ
    • ※6 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.6.6 23:08
    確率ってなんだっけって原点に立ち返って考えないと1/2って答えちゃうよね
    気をつけなくては
      • ※7 : ドクター・ノオ・ネーム
      • 2018.6.6 23:23
      >※6
      とにかく根拠薄弱でもいいから何かの数字を出さなければならない状況で
      ベイズの事前確率としてとりあえず1/2を使っておきましょ、という感じで
      それはそれで自然な発想
      ただし、演繹を旨とする数学じゃなくて帰納を旨とする統計学の発想
      数学風の設定だからつい数学と思いやすいけど
      元々数学の範疇に入らない問題
    • ※8 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.6.6 23:31
    手に取って解析してはならないとは書いていない。
    ・筒で封筒を覗き、裏から強力ライト照らせば透ける可能性あり。
    ・同じ封筒と若干重い1万円札と軽い5千円札の重さを電子天秤で厳密に量れば推測できるかも。
    ・封がしてないなら中身見る。
    • ※9 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.6.6 23:32
    一読して、「5000円と10000円の組み合わせ」と「10000円と20000円の組み合わせ」が、コインの裏表のように等価にあると思い込んでた。

    ちゃんと考えないとダメだね。
    • ※10 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.6.7 0:11
    交換すべき
    仮に別の封筒が5000円であった場合、損失は1万円から差し引いた5000円で、仮に2万円であれば一万円に比して1万円の得になる。
    5千円損するより1万円得する方が期待値として大きいやろ
      • ※14 : ドクター・ノオ・ネーム
      • 2018.6.7 0:35
      >※10
      本文くらい読もうぜ
    • ※16 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.6.7 0:39
    ミニマックス法にしたがって変えない
      • ※17 : ドクター・ノオ・ネーム
      • 2018.6.7 0:42
      >※16
      それはひとつの回答としてアリだな
      少なくともどこからともなく1/2を引っ張り出してきちゃう連中より一段上の回答
    • ※18 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.6.7 7:38
    金額が具体的だから俺も騙されたわ
    要するに「コインを投げて勝ち負けを競う。ただし、表と裏どっちが出たら勝ちなのかは知らされていない。さてコインを投げたところ表が出た。やり直す?」と同じ事だよね
    • ※19 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.6.7 7:53
    こういうわけわからなくなるやつは、ありうる場面を数えれば良い。
    何も情報がない2つの封筒から高い方を選べる確率が二分の一なのは疑いようがない。

    片方の封筒が一万円だった場合、一万円がその流通の世界で高価であった場合、
    出題者の持ってるお金が一万五千円程度しかない可能性は高価な一万円を三枚持つ可能性より高い。
    しかし、逆に一万円がジンバブエドルみたいにはした金なら三万が存在する可能性は高いだろう。

    このようにわからない確率は恣意的だとしても主観的には二分の一になる。
    出題者の意図が確率操作するまでは条件は変わらない。

    主観からの確率が変わる可能性があるとすれば、
    サイコロの歪みが外から見えて、
    一の面が丸まってて表面積が他より大きく重心がその面に傾いてるとわかった時だけだ。
    たとえ相手の操作するイカサマサイコロで100%負けるとしても、イカサマに騙されてイカサマに主観が気付かない場合、
    サイコロの面に何が来るかは六分の一だ。

    それと同じように二枚の封筒ゲームをやる場面において提示された
    一万円が片方に入っているという主観が得られる情報は、
    その世界の物価を推し量れる登場人物の主観を持たない俺達にはなんの価値も無く、
    並べられる場合の数は必ず二つの相反する場合がセットになる。

    長々と語ったが
    「一万円が高額で一万円さえあれは欲求を満たせるほど得であり五千円だと欲求を満たせないなら交換するのは得ではない
    (主観がデフレした物価の世界を持っている)」
    「一万円では欲求を満たせず当然五千円になろうともゴミクズでせめて二万円なければ無意味であるなら交換したほうが得だ
    (世界の物価はインフレしている。)」
    • ※20 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.6.7 8:10
    ああ。一円でも高い方が得という数字で遊んでるゲームの世界なら19で語った通り考えられる場合の数を数えた確率から二分の一だし
    ゲーム内の主観と俺達の主観は一致し、一万円にはなんの価値もない。

    10が言ってる通りだろう。
    • ※21 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.6.7 9:09
    この手の話って前提になる条件をハッキリ書かないせいで議論がそこで揉めるんだよなw 専門書とか論文が小難しくて冗長に見えるのはそういう前提をきっちり詰めて書くから レス用に短く問題切りつめると揉めるのは必然 
    確率が1/2ってのは回答者側の勝手な前提ってのは間違いじゃないが、それなら最初にそれを記述しとかないと、極論この世界では10000万と20000万じゃ前者のが価値があるとか後出しで言われたら答えよう無くなる
    • ※22 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.6.7 9:58
    掛け金と倍率の問題
    2倍程度の固いとこに1万を一点張りとか、「甘デジ確定だから、1万までは回せ」っていう話を信じて突っ込むとか、そういうのが好きな人はやればいい
    「100円の掛け金で0か200か選べ」ならば遊びとして躊躇なくやるし、「1億の投資で0か倍かを選べ」となると、まず手は出さないと言う人間は多い
    が、「1万の投資で100万」っていう詐欺には、結構な人が引っ掛かるってのが、この設問の妙なんだよ

    いつも思うのだが「逃走中」っていうゲームでは、ゲーム中にどんな金額になっていようが、隙があれば自首するのが一番お得
    自首には、「持ち金半分返納」とかのペナルティを掛けないと、プレイヤーのプライドとか好感度とかだけに頼っていてはゲームバランスがとれない
    ことほどさようにスレの設問については、純粋な確率論だけの問題ならば別だが、ゲーム理論とか社会心理学を取り入れると、複数の条件を与えない限り明確な解は出なくなる
    • ※23 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.6.7 16:08
    交換しない悩んだ時ときには最初に選んだほうを選ぶと決めてるので
    正しいほうを選ぶ可能性があったかもと思うから後悔する
    だから最初からこれしかなかったという状況を作るルールでこれしか選べなかったという状況を
    • ※24 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.6.7 16:21
    これは金額によるよ。地球の資産も出題者の財産も有限だから。高額になるほど倍になる確率は減ると考えるのが自然。
    低額の場合は逆で、封筒開けて1円玉なら替えた方が良い。
    数字だけで考えたら上限は無限大なので常に替えた方が良くなってしまうマジック。
    • ※25 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.6.7 18:30
    得られている情報より未知数の方が多い
    自分はそこまで追っかけないと納得できなかった
    • ※26 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.6.7 21:23
    こんなん問題文からすれば1/2にしかならんし、結局その確率でどっち引くかってだけだ。何で問題文以外のことを無駄に組み込もうとするのか。それこそ数学的でも論理的でもない。封筒を出す人の小説でも書いてその気持ちでも答えさせとけ。
    このモンティ・ホールを真似たけど真似られなかった問題の唯一の利点は、頭の残念な人たちを大量にあぶり出したことだね。
      • ※42 : ドクター・ノオ・ネーム
      • 2018.6.9 11:38
      >※26
      当然確率はxxxになる、という直感が結果的に誤りだったモンティ・ホール問題を
      引き合いに出すなら、むしろチェックした上で論理と直感が
      一致していることを確認する作業を怠らない姿勢は正しいことじゃないかな。
      当たり前のチェックをしている人たちは、むしろモンティ・ホール問題に
      学んだ人たちなんじゃないかな。
    • ※27 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.6.7 22:24
    この問題を五千円と二万円の1/2の確率と答えた人は詐欺に注意が必要かもしれない
    わからないものを見えているつもりの人が一番詐欺にあいやすい
    投資したら儲かりますよと言われて儲かると損をするの二択だとしても確率は1/2じゃない
    本スレでも確率は問題の中では言及されてないことが議論になってる
    • ※28 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.6.7 22:50
    封筒を交換すると考えた場合に、数学上の確率が完全に「二分の一の確率で得となるし同じ確率で損にもなる」という条件が正か否かって話に見えるけど、

    スレタイの設問を提示されたとき、「封筒を交換する方が得」「いや一万円確定したほうが得」まずこの二択が発生するわけで、そのうち一万円で満足できる人間が半分いて残りの半分が交換するべきと考えるとすれば

    実際に交換した奴のうち半分が得をして残りの半分が損をする

    全体で見れば、交換しなかった人間と交換してあたりを引いた人間がそれぞれ得だったと感じ、わざわざ交換したのにハズレを引いちゃったヤツが損をしたと感じる

    つまり最初の設問において「交換しない」を選択すれば100%の確率で得になる。別に2万円を手に入れるゲームではないのだから、損得の判断においてもし確実に得をしいと考えるならばこれは交換すべきではない
    • ※30 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.6.8 0:28
    >※28
    一万円で満足できる人間は半分しかいないから、交換しないを選んで満足するのは半分なんじゃないの?
    一万円で満足できる人間が交換しないを選んで100%満足するってのは自明の話だし
    交換しなかった人は100%満足するが、交換した人は50%しか満足していないってのは正しいけど、自分が一万円で満足するかどうかは任意の条件ではないから、交換しない方が良いってのは違うと思う。
    • ※31 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.6.8 1:34
    思いがけず1万円手に入って
    「その1万円貸してくれたらパチンコで2万円にして返すよ、ただし失敗したら5000円は返す」と言われてどうするか。
    そいつのパチンコの腕は知らないとする。
    • ※32 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.6.8 11:17
    数学の問題というより国語の問題
    長々と議論してるけど不毛だわ
    マイケル・サンデルのトロッコ問題みたい
    何を言っても詭弁にしかならない
    • ※33 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.6.8 12:30
    一方の封筒に一万円入ってたというとこまで前提条件に入るなら、たしかに1万円と五千円しか必ず入れないという行為が恣意的に行われて場合損するな。でその仕込んだ確率がうんぬんということが大事なんだろうな。でも主観的にはわからないことだから1/2(とみなす)だしただそれが真ではないという…
    • ※34 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.6.8 14:40
    はー 面白い

    [5000,10000]の組み合わせか[10000,20000]の組み合わせかの確率に依存するんだけど、
    無意識のうちにきれいなランダムを想像しちゃって、
    そこも無限回やれば50:50だろうってなんとなく思いこんじゃうんだよね
    • ※35 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.6.8 15:37
    片方Aが10000円だったなら、もう一方Bは5000円か20000円。
    Bの期待値は確率1/2で、平均で12500円。
    Aで我慢するか,Bをチャレンジするか、の確率は1/2だから
    10000と12500の平均で、11250.
    チャレンジしても大した違いはないから、5000でショックを受けるより、
    10000で我慢するのが得策。
    これじゃダメなの?
    • ※36 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.6.8 16:25
    とりあえず現物みないと分からんよね
    一円玉が1万枚かもしれないし
    千円札でもいいけど外から見たら分かりそうだけどね
    • ※37 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.6.8 16:40
    これ条件足りないね
    1万円を上限とする、2万円を上限とするっていう隠し条件があっても
    両方とも問いは成立するじゃないか

    物理の摩擦系数は無視する見たく、入れる金額は無作為に決定することとする
    とかないと、わからないが正解じゃない?
    • ※38 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.6.8 18:19
    実際にある数字とその倍の数字の書かれた紙を、封筒二通にそれぞれ入れてやってみたが
    変えて低くなるか高くなるかはほぼ同じ確率だったぞ
    分からなきゃ実際にやってみるってことを何でみんなやらないんだろうか
    • ※39 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.6.8 23:13
    >38
    >>封筒二通にそれぞれ入れてやってみた
    あなたは数字の書かれた紙をそれぞれ1枚ずつ用意したのでは?
    「2枚の紙を試行用に用意した」段階で母数を2に設定していて、「その中の1枚を選んで」封筒に入れたのだから、その時点で確率が1/2と計算ができる
    翻って封筒問題の文章では
    >>一方の封筒に入っている金額はもう一方の封筒に入っている金額の2倍である
    と言ってるだけで「2枚の紙を試行用に用意した」とは言っていない、
    つまり母数(一万円札、五千円札、二千円札、千円札がそれぞれ何枚あるか)が不明だから2万円入った封筒と5千円入った封筒が必ず50:50で用意されるとは限らず、回答者が得をするか損をするか確率の計算ができないってことだと思う
      • ※40 : ドクター・ノオ・ネーム
      • 2018.6.9 4:27
      >※39
      紙の枚数で確率が変わるとか言ってんならマジで考え直した方が良い
    • ※41 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.6.9 8:30
    >>40
    横からだが、用意する紙の枚数で確率変わるぞ。
    五千円の紙入った封筒三枚と一万のを一枚、二万のを一枚で>>38の手法でやると……コンビネーション必要になってちょっと面倒だな。

    ……五千円の封筒出やすいよ、とにかく。偏らせたし。

    >>38の方法は用意する紙を自分で決めて、自分で決めた確率の決まってる紙を自分で引いて出現確率を言ってるのよ。想像すると小学生のお遊戯みたいでかわいい。
    • ※43 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.6.9 12:32
    スレでしっかりと解説されてるのに、まだ分かってない人がいるあたりがなんとも……。

    最近の学校教育は、確率や統計をより重視するカリキュラムに変わりつつあるらしいけど、
    必要なことみたいだ。
    • ※44 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.6.12 17:59
    俺の答え
    考えてる間に1万円を運用して増やす
    • ※45 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.6.13 12:16
    一万円だったら迷わずもう1つの封筒取るとと思う
    もう1つの封筒が5000円だったとしても差額は5000円だし
    • ※46 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.6.14 0:55
    スレ主が1レス目で提示した条件を基に考えると…
    封筒を変えることによって起こる可能性のある事象は以下の2通り
    ・事象A:損失が-5000円生じる(この事象が起こる確率は不明)
    ・事象B:利益が+10000円生じる(同上)
    事象Aが生じる確率をP(A)、事象Bが生じる確率をP(B)とすると条件より
    0<P(A)<1
    0<P(B)<1
    P(A)+P(B)=1

    そもそもこの問題は損得勘定が絡んでくるから人によって答えが異なる。ここではu(5000)=0.3 u(10000)=0.5 u(20000)=0.7という効用関数を持つ経済主体iについて考える。
    封筒を変えないときの評価値αは
    α=u(10000)=0.5
    封筒を変えた場合の評価値βは
    β=P(A)*u(5000)+P(B)*u(20000)
    =P(A)*0.3+P(B)*0.7

    αとβの差をとると
    α-β=P(A)*0.3+P(B)*0.7-0.5={3*P(A)+7*P(B)-5}/10
    分子{3*P(A)+7*P(B)-5}を負である時、0である時、正である時で場合分けするとそれぞれ
    3*P(A)5-7*P(B)

    左辺5-7*P(B)は0<P(A)<1、0<P(B)<1という条件より
    3*P(A)<5-7*P(B)の時、2/7<P(B)<5/7
    3*P(A)=5-7*P(B)の時、2/7<P(B)5-7*P(B)の時、負である時、0である時、正である時で場合分けするとそれぞれ
    5/7<P(B)<1
    P(B)=5/7
    0<P(B)<5/7

    またα-β=0の時、P(B)={5-3*P(A)}/7より
    2/7<{5-3*P(A)}/7<5/7
    2<5-3*P(A)<5
    0<P(A)0かつP(B)=5/7の時、P(A)+P(B)=1よりP(A)=2/7となる。


    0<P(A)<1かつ2/7<P(B)<5/7においてα-β<0となる場合とα-β=0となる場合があるのでα-β≦0となる。つまり0<P(A)<1かつ2/7<P(B)<5/7において経済主体iは封筒を変えた方が得をする。
    0<P(A)<1かつ5/7<P(B)0となるので経済主体ⅰは封筒を変えない方が得をする。
    P(A)=2/7かつP(B)=5/7においてα-β>0となるので経済主体ⅰは封筒を変えない方が得をする。
    0<P(A)<1かつ0<P(B)0となるので経済主体ⅰは封筒を変えない方が得をする。
    • ※47 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.6.14 1:02
    途中の場合分けの記述ミスったから訂正
    上のは無視して

    スレ主が1レス目で提示した条件を基に考えると…
    封筒を変えることによって起こる可能性のある事象は以下の2通り
    ・事象A:損失が-5000円生じる(この事象が起こる確率は不明)
    ・事象B:利益が+10000円生じる(同上)
    事象Aが生じる確率をP(A)、事象Bが生じる確率をP(B)とすると条件より
    0<P(A)<1
    0<P(B)<1
    P(A)+P(B)=1

    そもそもこの問題は損得勘定が絡んでくるから人によって答えが異なる。ここではu(5000)=0.3 u(10000)=0.5 u(20000)=0.7という効用関数を持つ経済主体iについて考える。
    封筒を変えないときの評価値αは
    α=u(10000)=0.5
    封筒を変えた場合の評価値βは
    β=P(A)*u(5000)+P(B)*u(20000)
    =P(A)*0.3+P(B)*0.7

    αとβの差をとると
    α-β=P(A)*0.3+P(B)*0.7-0.5={3*P(A)+7*P(B)-5}/10

    分子{3*P(A)+7*P(B)-5}を負である時、0である時、正である時で場合分けするとそれぞれ
    3*P(A)5-7*P(B)

    左辺 5-7*P(B) は0<P(A)<1、0<P(B)<1という条件より
    3*P(A)<5-7*P(B)の時、2/7<P(B)<5/7
    3*P(A)=5-7*P(B)の時、2/7<P(B)5-7*P(B)の時、負である時、0である時、正である時で場合分けするとそれぞれ
    5/7<P(B)<1
    P(B)=5/7
    0<P(B)<5/7

    またα-β=0の時、P(B)={5-3*P(A)}/7より
    2/7<{5-3*P(A)}/7<5/7
    2<5-3*P(A)<5
    0<P(A)0かつP(B)=5/7の時、P(A)+P(B)=1よりP(A)=2/7となる。


    0<P(A)<1かつ2/7<P(B)<5/7においてα-β<0となる場合とα-β=0となる場合があるのでα-β≦0となる。つまり0<P(A)<1かつ2/7<P(B)<5/7において経済主体iは封筒を変えた方が得をする。
    0<P(A)<1かつ5/7<P(B)0となるので経済主体ⅰは封筒を変えない方が得をする。
    P(A)=2/7かつP(B)=5/7においてα-β>0となるので経済主体ⅰは封筒を変えない方が得をする。
    0<P(A)<1かつ0<P(B)0となるので経済主体ⅰは封筒を変えない方が得をする。
    • ※48 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.6.14 1:07
    やっぱり途中の記述がちゃんとコメント欄にうまく表示されてないから最初から小分けで投稿しなおすわ。上の2つのコメはは無視して。

    スレ主が1レス目で提示した条件を基に考えると…
    封筒を変えることによって起こる可能性のある事象は以下の2通り
    ・事象A:損失が-5000円生じる(この事象が起こる確率は不明)
    ・事象B:利益が+10000円生じる(同上)
    事象Aが生じる確率をP(A)、事象Bが生じる確率をP(B)とすると条件より

    0<P(A)<1
    0<P(B)<1
    P(A)+P(B)=1
      • ※49 : ドクター・ノオ・ネーム
      • 2018.6.14 1:09
      >※48
      つづき

      そもそもこの問題は損得勘定が絡んでくるから経済主体によって答えが異なる。ここではu(5000)=0.3 u(10000)=0.5 u(20000)=0.7という効用関数を持つ経済主体iについて考える。

      封筒を変えないときの評価値αは

      α=u(10000)=0.5

      封筒を変えた場合の評価値βは

      β=P(A)*u(5000)+P(B)*u(20000)
      =P(A)*0.3+P(B)*0.7
        • ※50 : ドクター・ノオ・ネーム
        • 2018.6.14 1:11
        >※49
        つづき

        αとβの差をとると
        α-β=P(A)*0.3+P(B)*0.7-0.5={3*P(A)+7*P(B)-5}/10

        分子{3*P(A)+7*P(B)-5}を負である時、0である時、正である時で場合分けするとそれぞれ

        3*P(A)5-7*P(B)
          • ※51 : ドクター・ノオ・ネーム
          • 2018.6.14 1:14
          >※50
          あれ?やっぱり場合分けの式が正しく表示されてねーな
          半角>は全角>にしないと表示されないのかな?
            • ※52 : ドクター・ノオ・ネーム
            • 2018.6.14 1:16
            >※51
            取り敢えず”分子{3*P(A)+7*P(B)-5}を負である時、0である時、正である時で場合分けするとそれぞれ”の続き

            分子{3*P(A)+7*P(B)-5}を負である時、0である時、正である時で場合分けするとそれぞれ

            3*P(A)<5-7*P(B)
            3*P(A)=5-7*P(B)
            3*P(A)>5-7*P(B)
    • ※53 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.6.14 1:20
    おっ、今度はちゃんと正しく表示されてる
    じゃあ※52のつづき

    右辺 5-7*P(B) は 0<P(A)<1、0<P(B)<1 という条件より

    3*P(A)<5-7*P(B)の時、2/7<P(B)<5/7
    3*P(A)=5-7*P(B)の時、2/7<P(B)<5/7
    3*P(A)>5-7*P(B)の時、負である時、0である時、正である時で場合分けするとそれぞれ

    5/7<P(B)<1
    P(B)=5/7
    0<P(B)<5/7
      • ※54 : ドクター・ノオ・ネーム
      • 2018.6.14 1:24
      >※53
      続き

      またα-β=0の時、P(B)={5-3*P(A)}/7より
      2/7<{5-3*P(A)}/7<5/7
      2<5-3*P(A)<5
      ∴0<P(A)<1

      またα-β>0かつP(B)=5/7の時、P(A)+P(B)=1よりP(A)=2/7となる。
        • ※55 : ドクター・ノオ・ネーム
        • 2018.6.14 1:28
        >※54
        続き これで最後


        0<P(A)<1かつ2/7<P(B)<5/7においてα-β<0となる場合とα-β=0となる場合があるのでα-β≦0となる。つまり0<P(A)<1かつ2/7<P(B)<5/7において経済主体iは封筒を変えた方が得をする。

        0<P(A)<1かつ5/7<P(B)<1においてα-β>0となるので経済主体ⅰは封筒を変えない方が得をする。

        P(A)=2/7かつP(B)=5/7においてα-β>0となるので経済主体ⅰは封筒を変えない方が得をする。

        0<P(A)<1かつ0<P(B)<5/7においてα-β>0となるので経済主体ⅰは封筒を変えない方が得をする。
    • ※56 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.6.14 1:38
    ※46~※55をまとめると…

    スレ主が1レス目で提示した条件を基に考えると…
    封筒を変えることによって起こる可能性のある事象は以下の2通り

    ・事象A:損失が-5000円生じる(この事象が起こる確率は不明)
    ・事象B:利益が+10000円生じる(同上)

    事象Aが生じる確率をP(A)、事象Bが生じる確率をP(B)とすると条件より

    0<P(A)<1
    0<P(B)<1
    P(A)+P(B)=1

    そもそもこの問題は損得勘定が絡んでくるから経済主体によって答えが異なる。ここではu(5000)=0.3 u(10000)=0.5 u(20000)=0.7という効用関数を持つ経済主体iについて考える。

    封筒を変えないときの評価値αは

    α=u(10000)=0.5

    封筒を変えた場合の評価値βは

    β=P(A)*u(5000)+P(B)*u(20000)
    =P(A)*0.3+P(B)*0.7

    αとβの差をとると
    α-β=P(A)*0.3+P(B)*0.7-0.5={3*P(A)+7*P(B)-5}/10

    分子{3*P(A)+7*P(B)-5}を負である時、0である時、正である時で場合分けするとそれぞれ

    3*P(A)<5-7*P(B)
    3*P(A)=5-7*P(B)
    3*P(A)>5-7*P(B)

    右辺 5-7*P(B) は 0<P(A)<1、0<P(B)<1 という条件より

    3*P(A)<5-7*P(B)の時、2/7<P(B)<5/7
    3*P(A)=5-7*P(B)の時、2/7<P(B)<5/7

    3*P(A)>5-7*P(B)の時、右辺 5-7*P(B) を負である時、0である時、正である時で場合分けするとそれぞれ

    5/7<P(B)<1
    P(B)=5/7
    0<P(B)<5/7

    またα-β=0の時、P(B)={5-3*P(A)}/7より
    2/7<{5-3*P(A)}/7<5/7
    2<5-3*P(A)<5
    ∴0<P(A)<1

    またα-β>0かつP(B)=5/7の時、P(A)+P(B)=1よりP(A)=2/7となる。


    0<P(A)<1かつ2/7<P(B)<5/7においてα-β<0となる場合とα-β=0となる場合があるのでα-β≦0となる。つまり0<P(A)<1かつ2/7<P(B)<5/7において経済主体iは封筒を変えた方が得をする。

    0<P(A)<1かつ5/7<P(B)<1においてα-β>0となるので経済主体ⅰは封筒を変えない方が得をする。

    P(A)=2/7かつP(B)=5/7においてα-β>0となるので経済主体ⅰは封筒を変えない方が得をする。

    0<P(A)<1かつ0<P(B)<5/7においてα-β>0となるので経済主体ⅰは封筒を変えない方が得をする。
      • ※57 : ドクター・ノオ・ネーム
      • 2018.6.14 1:49
      たぶんこれで全ての式が正しく表示されてるはず
      • ※58 : ドクター・ノオ・ネーム
      • 2018.6.14 2:04
      >※56
      すまん
      途中で盛大なミスしてた
      β-αを全部α-βto記述してた
      今までの全部無視して
    • ※59 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.6.14 2:09
    ※56訂正ver

    スレ主が1レス目で提示した条件を基に考えると…
    封筒を変えることによって起こる可能性のある事象は以下の2通り

    ・事象A:損失が-5000円生じる(この事象が起こる確率は不明)
    ・事象B:利益が+10000円生じる(同上)

    事象Aが生じる確率をP(A)、事象Bが生じる確率をP(B)とすると条件より

    0<P(A)<1
    0<P(B)<1
    P(A)+P(B)=1

    そもそもこの問題は損得勘定が絡んでくるから経済主体によって答えが異なる。ここではu(5000)=0.3 u(10000)=0.5 u(20000)=0.7という効用関数を持つ経済主体iについて考える。

    封筒を変えないときの評価値αは

    α=u(10000)=0.5

    封筒を変えた場合の評価値βは

    β=P(A)*u(5000)+P(B)*u(20000)
    =P(A)*0.3+P(B)*0.7

    αとβの差をとると
    β-α=P(A)*0.3+P(B)*0.7-0.5={3*P(A)+7*P(B)-5}/10

    分子{3*P(A)+7*P(B)-5}を負である時、0である時、正である時で場合分けするとそれぞれ

    3*P(A)<5-7*P(B)
    3*P(A)=5-7*P(B)
    3*P(A)>5-7*P(B)

    右辺 5-7*P(B) は 0<P(A)<1、0<P(B)<1 という条件より

    3*P(A)<5-7*P(B)の時、2/7<P(B)<5/7
    3*P(A)=5-7*P(B)の時、2/7<P(B)<5/7

    3*P(A)>5-7*P(B)の時、右辺 5-7*P(B) を負である時、0である時、正である時で場合分けするとそれぞれ

    5/7<P(B)<1
    P(B)=5/7
    0<P(B)<5/7

    またβ-α=0の時、P(B)={5-3*P(A)}/7より
    2/7<{5-3*P(A)}/7<5/7
    2<5-3*P(A)<5
    ∴0<P(A)<1

    またβ-α>0かつP(B)=5/7の時、P(A)+P(B)=1よりP(A)=2/7となる。


    0<P(A)<1かつ2/7<P(B)<5/7においてβ-α<0となる場合とβ-α=0となる場合があるのでβ-α≦0となる。つまり0<P(A)<1かつ2/7<P(B)<5/7において経済主体iは封筒を変えない方が得をする。

    0<P(A)<1かつ5/7<P(B)<1においてβ-α>0となるので経済主体ⅰは封筒を変えた方が得をする。

    P(A)=2/7かつP(B)=5/7においてβ-α>0となるので経済主体ⅰは封筒を変えた方が得をする。

    0<P(A)<1かつ0<P(B)<5/7においてβ-α>0となるので経済主体ⅰは封筒を変えた方が得をする。
    • ※60 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.6.14 3:00
    ※59訂正ver.2
    よく見たら場合分けが滅茶苦茶だった
    訂正しまくってすみません

    スレ主が1レス目で提示した条件を基に考えると…
    封筒を変えることによって起こる可能性のある事象は以下の2通り

    ・事象A:損失が-5000円生じる(この事象が起こる確率は不明)
    ・事象B:利益が+10000円生じる(同上)

    事象Aが生じる確率をP(A)、事象Bが生じる確率をP(B)とすると条件より

    0<P(A)<1
    0<P(B)<1
    P(A)+P(B)=1

    そもそもこの問題は損得勘定が絡んでくるから経済主体によって答えが異なる。ここではu(5000)=0.3 u(10000)=0.5 u(20000)=0.7という効用関数を持つ経済主体iについて考える。

    封筒を変えないときの評価値αは

    α=u(10000)=0.5

    封筒を変えた場合の評価値βは

    β=P(A)*u(5000)+P(B)*u(20000)
    =P(A)*0.3+P(B)*0.7

    αとβの差をとると
    β-α=P(A)*0.3+P(B)*0.7-0.5={3*P(A)+7*P(B)-5}/10

    分子{3*P(A)+7*P(B)-5}を負である時、0である時、正である時で場合分けするとそれぞれ

    3*P(A)<5-7*P(B)
    3*P(A)=5-7*P(B)
    3*P(A)>5-7*P(B)

    P(A)、P(B)の値又は値域は 0<P(A)<1 P(A)+P(B)=1という条件より

    3*P(A)<5-7*P(B)=7*P(A)-2の時、1/2<P(A)<1 0<P(B)<1/2

    3*P(A)=5-7*P(B)=7*P(A)-2の時、P(A)=P(B)=1/2

    3*P(A)>5-7*P(B)=7*P(A)-2の時、0<P(A)<1/2 1/2<P(B)<1


    1/2<P(A)<1かつ0<P(B)<1/2においてα>βとなるので経済主体ⅰは封筒を変えない方が得をする。

    P(A)=P(B)=1/2のときα=βとなるので経済主体ⅰは封筒を変えても変えなくても得をする又は損をするということはない。

    0<P(A)<1/2かつ1/2<P(B)<1においてα<βとなるので経済主体ⅰは封筒を変えた方が得をする。
      • ※61 : ドクター・ノオ・ネーム
      • 2018.6.14 4:23
      >※60
      効用関数を

      u(5000)=x
      u(10000)=y
      u(20000)=z

      (大小関係はx<y<zでx,y,zは実数とする)

      と置いて一般化すると
      封筒を変えないときの評価値αは

      α=u(10000)=y

      封筒を変えた場合の評価値βは

      β=P(A)*u(5000)+P(B)*u(20000)
      =P(A)*x+P(B)*z

      αとβの差をとると
      β-α=P(A)*x+P(B)*z-y

      β-αを負である時、0である時、正である時で場合分けするとP(A)、P(B)の値又は値域は 0<P(A)<1 0<P(B)<1 P(A)+P(B)=1という条件より

      α>βの時

      P(A)*x+P(B)*z-y<0
      P(A)*x+{1-P(A)}*z-y<0
      P(A)*x<P(A)*z+y-Z
      P(A)*(z-x)>z-y

      x<y<zより z-x≠0 なので

      ∴P(A)>(z-y)/(z-x)

      また条件より z-x>z-y>0 なので 0<(z-x)/(z-y)<1

      ∴(z-y)/(z-x)<P(A)<1

      また条件より z-x>y-x>0 なので 0<(y-x)/(z-y)<1

      ∴0<P(B)<(y-x)/(z-x)

      α=βの時も同様にして

       P(A)=(z-y)/(z-x)
       P(B)=(y-x)/(z-x)

      α<βの時も同様にして

       0<P(A)<(z-y)/(z-x)
       (y-x)/(z-x)<P(B)<1


      (z-y)/(z-x)<P(A)<1かつ0<P(B)<(y-x)/(z-x)においてα>βとなるので経済主体ⅰは封筒を変えない方が得をする。

      P(A)=(z-y)/(z-x)かつP(B)=(y-x)/(z-x)の時、α=βとなるので経済主体ⅰは封筒を変えても変えなくても得をする又は損をするということはない。

      0<P(A)<(z-y)/(z-x)かつ(y-x)/(z-x)<P(B)<1においてα<βとなるので経済主体ⅰは封筒を変えた方が得をする。
    • ※62 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.6.14 4:41
    ※60、※61を書き込んだ者だが途中の式変形に無駄な箇所があったりするのは置いといて、一応考え方自体は合ってるよな?
    間違ってるとしたらどこが誤り?
    • ※63 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.6.16 11:18
    >考え方自体は合ってるよな?
    >間違ってるとしたらどこが誤り?

    しるかW
    • ※64 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.6.17 23:26
    主催者側の立場で考えれば万券1枚と2枚の封筒用意するより、万券と樋口さんそれぞれ1枚の封筒用意する方が見た目的に分かり易いだろう。
    だから封筒開けて1万円だった時はそのままの方が得だ
    逆に5000円だった時はもうひとつの封筒に2500円なんて半端を入れるのは考えにくいから変えた方が得だ
    • ※65 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.6.20 0:42
    5000円と20000円の確率が1/2は分からないからそういうものとして仮定しただけじゃん。
    数学者はこういうつまらない事に揚げ足取りするの?現実世界では分からないこと多いわけだしこういう人は、現実の問題に突き当たると「前提条件が完璧じゃない!」とか文句しか言わないで終わりそう。
    • ※66 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.6.28 16:30
    交換するべきかどうかって問を、勝手に期待値を計算せよって問に読み替えてるんだよな
    • ※67 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.7.19 23:33
    中2数学の確率で、「同様に確からしい」という用語を学ぶ。以下の参照先によれば、「一般に,ある試行において,どの根元事象が起こることも同程度に期待できるとき,これらの根元事象は同様に確からしいという」。

    このスレの問題では、一方の封筒に1万円が入っていたのだから、もう一方の封筒には5千円または2万円が入っていることは確実である。しかしながら、設問が「もう一方の封筒に5千円が入っているか2万円が入っているかは同様に確からしい」という条件を欠いたために、不要な議論が生じてしまった。

    ちなみに、もう一方の封筒に5千円が入っているか2万円が入っているかが同様に確からしいならば、交換後の金額の期待値は、

      ( 5,000 + 20,000 ) * 1/2 = 12,500円

    となるので、交換する方が得となる可能性が高い。



    《参照》
    https://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/81/81-2.pdf
      • ※69 : ドクター・ノオ・ネーム
      • 2018.8.7 17:20
      >※67
      シチュエーションに対する期待値の考え方が不適切なんですよ
      その期待値には初めに10000円をもらっていることの補正が入ってないんです
      5000円か20000円かがもらえるという部分だけ切り出すと12500円が出てきてしまいますが
      実際に問われているシチュエーションは「1万円にかかる倍率(初め1倍)が2の1乗に化けるか、2の-1乗に化けるか」なんです
      なので捉えられるべき値は25000の半分ではなく、1乗と-1乗の真ん中をとって2の0乗、すなわち1倍となった1万円なんですね
      このように捉えた場合は交換してもしなくてもいいという最初の結論で話が終わるんです
    • ※68 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.7.20 1:07
    これってプロスペクトル理論を元にしたものってことにさっき気がついた。
    価値は金額に比例しないっていう行動心理学の理論。
    ツイッターでやったってことは日本における理論の実証だったりしたのかな?
    • ※70 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.11.25 17:07
    組み合わせが五千円と一万円と仮定して、必ず交換すると、期待値は7500円.交換しないと、期待値は7500.
    組み合わせが一万円と二万円と仮定して、同様に、交換してもしなくても期待値は15000円。
    • ※71 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.12.6 12:35
    問題文に書かれてないことについて議論を混乱させるような輩の多いこと
    確率が1/2とは限らないならそもそも問題にならないから議論する価値なし
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