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背理法不要論ってどうなん? @ [数学板]


背理法不要論ってどうなん? @ [数学板]
1: 132人目の素数さん 2018/05/16(水) 20:43:44.69 ID:YSuI5kv5.net
東京理科大の先生頑張ってるけど
2: 132人目の素数さん 2018/05/16(水) 20:54:59.29 ID:NGAPBS3y.net
背理法は不要であると仮定しよう
3: 132人目の素数さん 2018/05/16(水) 21:09:51.93 ID:GgVOEH1b.net
天動説と地動説みたいなもの
どちらも正しい場合は、簡潔で理解しやすい方が選ばれる
116: 132人目の素数さん 2018/06/16(土) 07:49:52.49 ID:aFi+zhA8.net
>>3
天動説は正しくない
管理人より:「背理法」とは、ある命題に対して、逆の場合から論理を組み立ててその矛盾をついて、元の命題が真であることを証明する方法。
背理法とは?例を使って慶應生がわかりやすく解説してみた←こちらに√5が無理数であることを、背理法を使って証明する例が書かれてますのでご参考までに。
天動説についてはこちらもドーゾ。
8: 132人目の素数さん 2018/05/17(木) 12:10:15.27 ID:8T70ejct.net
背理法で証明ができること自体は正しいが、どこが誤りであるかを正確に把握しなければならない
9: 132人目の素数さん 2018/05/17(木) 18:40:12.19 ID:iN6s+SGb.net
背理法なしで数学を組み立ててみればいい
たしか解析で行き詰まる
10: 132人目の素数さん 2018/05/17(木) 19:27:25.48 ID:5i6NZYPJ.net
>>9
背理法で証明できる命題は直接証明可能という定理がある
まあ存在定理だけどな
12: 132人目の素数さん 2018/05/18(金) 06:11:38.40 ID:/rLFIGkz.net
この話、よくわからないのだけど、例えばその背理法不要先生による
「√2は無理数である」
の証明はどういう形式をとるの?
161: 132人目の素数さん 2018/06/24(日) 08:53:05.90 ID:TsCObCt7.net
>>12
多項式x^2-2はアイゼンシュタインの既約判定法より有理数体上既約
根pの最小多項式の次数が1であることとp∈Qであることは同値
よって√2は有理数ではなく無理数
13: 132人目の素数さん 2018/05/18(金) 09:58:51.04 ID:qs0nVYbF.net
背理法無用論信者による「√2は無理数」の証明

任意の自然数 a,b につき、
2 * a * a
素因数2の個数が奇数
b * b
素因数2の個数が偶数

よって
2 * a * a ≠ b * b

両辺の平方根を取り
√2 * a ≠ b

√2≠ b / a


のように背理法の逆で証明を進める。
16: 132人目の素数さん 2018/05/18(金) 13:24:44.65 ID:CvPbHZEO.net
背理法不要論が実際に背理法を「使ってない」のかどうかはさておき、
「長い背理法は好ましくない」
「矛盾を導くまでの行数をなるべく短くしたい」

という欲求のもとでは、>>13のような証明はアリだろう。
17: 132人目の素数さん 2018/05/18(金) 15:56:02.14 ID:/rGWmATC.net
背理法だと偽の命題を仮定することになるから、その下で導出される命題は真でも偽でもあり得てしまう
それが嫌だから(証明の理解にならないから)背理法はダメという話だったと思うので、証明中に偽の命題が出てこないという点で>>13はアリなのでしょう
23: 132人目の素数さん 2018/05/18(金) 23:30:18.91 ID:9raX2Rje.net
>>13の証明方法、ネット上でも叩かれまくり

=でなく≠で式を変形していくのは、より危険が大きい
素因数分解の一意性を使用しているが、背理法無用論で証明できるのか?
分かりやすくなるというメリットが無い。これでは背理法を使った方がより分かりやすい。


などなど
33: 132人目の素数さん 2018/05/19(土) 16:57:46.04 ID:Wn+kp4W9.net
>>23
論点を勘違いした人が叩いてるだけ
34: 132人目の素数さん 2018/05/21(月) 20:47:46.85 ID:6mBNuKxt.net
そんなことはないな
>>23の論点は重要

これじゃあ背理法を使うべきだな
27: 132人目の素数さん 2018/05/19(土) 01:30:08.39 ID:aNDPn9PL.net
>>13
こういうスタイル俺もやるわ。
背理法って要は対偶論法なんだよな。
真であることがわかってる命題Aに対して「¬P⇒...⇒¬A」を示して、そこから対偶で全部ひっくり返して「A⇒...⇒P」とやってPを証明する。
細かいことを言えば頭に量化子がついたりするんだけど、言いたいことは分かると思う。
28: 132人目の素数さん 2018/05/19(土) 05:25:06.60 ID:O61Cmx2t.net
>>27
背理法と対偶は違う
32: 132人目の素数さん 2018/05/19(土) 12:53:11.01 ID:aNDPn9PL.net
>>28
わりぃ、根拠書かないやつは一律に無視してるんだわ
29: 132人目の素数さん 2018/05/19(土) 11:15:58.05 ID:WuHGsoBM.net
背理法と対偶は命題論理の公理として互換性があるので、その意味で同じ
14: 132人目の素数さん 2018/05/18(金) 11:20:15.63 ID:9WM3MLT9.net
それは背理法を使っていないのではなく、見かけを変えただけ
普通は最後に一度だけ「矛盾するので仮定は偽であった」と書くところを、推論の各ステップで何度も背理法を使っている
各ステップで使われる背理法の論証は極めて単純なので「○○と仮定する……すると矛盾するので○○ではないことがわかる」という書式を省いても読者に伝わる
そのため見かけ上では背理法を使っていないことになる
18: 132人目の素数さん 2018/05/18(金) 16:17:28.20 ID:xZaz6ACB.net
>>14
一応途中で間違った命題が入ってないんだから、背理法とは別モノでしょう
19: 132人目の素数さん 2018/05/18(金) 16:39:01.57 ID:xZaz6ACB.net
>>14
と、いうか各ステップで背理法を使っているというのはどういうこと?
使わなくてもできると思うが、もちろん、"使おうと思えば"使えるというだけであって
21: 132人目の素数さん 2018/05/18(金) 16:52:51.54 ID:u4xfRisT.net
よくある勘違いで言えば、背理法不要論でいう背理法は数理論理学でいう背理法云々とは別物、証明法の話(主張そのものを見れば明らかなことだけど)

排中律とかはもちろん認めていて、前提に結論の否定を持ってきて始める証明法を問題にしているはず
22: 132人目の素数さん 2018/05/18(金) 16:59:12.44 ID:9WM3MLT9.net
そういうこと
証明法と言わずに書式の問題だと言った方が分かりやすい
216: 132人目の素数さん 2018/08/11(土) 06:51:27.63 ID:/7veEAAF.net
>>21
>数理論理学でいう背理法云々とは別物
数理論理学でいう背理法って何なの?
24: 132人目の素数さん 2018/05/18(金) 23:59:43.13 ID:4eoGWamn.net
ゲオルク・カントールカントールの対角線論法も背理法でしょう。
だから背理法を否定したら、実数の無限集合が可付番集合でないことさえ証明できなかった訳で。
数学は背理法的な逆から矛盾を導くツールが多いよ
35: 132人目の素数さん 2018/05/21(月) 21:18:35.42 ID:x7a2VNRA.net
明らかに「背理法」が変な証明もあるのでそれは排除した方がよい。
例えばある集合からそれの冪集合への全射がないことを示すのに、「全射があったと仮定する」と言いながら、全射であるという条件を使わず、単に写像であるということだけから値域に入らないものを作ってる。
それで「背理法の仮定に反する」という証明。変だよな。
普通に、「集合から冪集合への写像は全射ではない」と言えばいいだけだから。
36: 132人目の素数さん 2018/05/22(火) 00:20:16.89 ID:CLEbNfNq.net
>>35
そういうのまれにあるよな
38: 132人目の素数さん 2018/05/22(火) 08:10:52.20 ID:14123UEN.net
初等的な数学までしか修めていない人は勘違いしがちだが、論理変形だけに目が行って本質を捉え損ねると高度な数学はできないよ
正しさだけを追い求めればいいというものではない


もちろん間違いはないように進める必要はあるが、≠での変形でも、正しさを論理的に確かめてあれば問題はないだろう
どのような手法に基づこうが命題の正しさ自体が保証されることは否定していないし、そこは問題にしていないんじゃないか

命題が論理的に正しいことが理解できるのであれば、その次に重要なのはその命題の証明を含めた理解だよ
ここがおろそかになると真っ当に数学はできない
と、いうよりこの理解度自体が数学における研究に求められる資質の一つ

もちろん、受験数学程度であればそこまで必要はないのかもしれないが、学問として数学を修めるには必要なこと
39: 132人目の素数さん 2018/05/22(火) 08:19:03.85 ID:14123UEN.net
数学の研究発表においても、背理法で証明すること自体は問題は無いが、背理法で証明します、なんだかよくわからないけど証明は回ります、というのはやってはいけない
必ず何が本質かということは理解していて、説明できなければならない
だから、背理法を使っていても、何が本質かちゃんと押さえておければいいけれども


例えば学生が重要な命題の証明で何が何だかわからないけど証明だけはできます、という認識だと、理解に重大な影響を及ぼすので教育上よろしくないというのはわかる
40: 132人目の素数さん 2018/05/22(火) 08:40:44.07 ID:14123UEN.net
とある数学者も言っていたが、物理や化学と違って数学の命題は暗記するものではなく理解する物である
公理さえ定めてしまえば全て道で繋がっている、一つの世界が出来上がるのが素晴らしいところ
そして命題の理解と証明とはとても密接な関係にあるのだから証明のための証明に抵抗を感じる数学者は少なくないだろう


もちろん実践的な研究のうえで背理法が必要になることはあるし、それについては否定していないのでは、あくまで、数学の本質の理解を妨げる危険性に注意しろ、ということであれば納得できるはなし
41: 132人目の素数さん 2018/05/22(火) 11:20:02.64 ID:zqN8zizh.net
その持論は結構なんだけど、長々と書いた動機が
「≠での変形でも背理法よりかは直感的だと思う」
という頼りない感想なのが頂けない
結局何に当てはめてよいのか分からない空論に聞こえる
46: 132人目の素数さん 2018/05/22(火) 23:21:55.59 ID:GJrEw1mc.net
背理法を使った手続きの方が、むしろ数学的(論理的)に見えるけどね。
統計検定などでもそうでしょう。

いきなり、実証したい仮説を持ってくるのでなく、まずは無に帰したい方の帰無仮説を用意する。それにp値などのパラメータを付与して、その帰無仮説の蓋然性を確率的に検討する。
そして、その仮説がなかなか有り得そうにないと判るとそれは棄却されて、検定者が本来、採用したかった方の仮説である対立仮説が、そこでようやく採択される。


もちろん、それは確率論的な話なので、ここで採用られた仮説が完全に真である保証はなく擬陽性や偽陰性の可能性も少しは残る。
ただ、ここで言いたいのはそのことでなく、背理法のような一見すると迂遠で冗長なアプローチにこそ、数学的な真理へ至る本質があるのではなかろうかという私なりの推論ね。
47: 132人目の素数さん 2018/05/23(水) 00:10:37.58 ID:rG9o6+al.net
>>46
本題から外れるから詳しく言わないけど、仮説検定は哲学的に批判があるよ。
エリオット・ソーバーの『科学と証拠』とかに書いてある。
54: 132人目の素数さん 2018/05/23(水) 04:18:55.82 ID:u7pncPE+.net
デイヴィッド・ヒューム哲学者のヒュームは、論理をもっと先鋭化させるか、あるいは科学的な論理性や真実性をも懐疑にさらす。
たとえば、ヒュームは太陽が東から昇り、西へ沈むことは必ずしも客観的な事象ではないとする。
それは、ただの慣習的に見られた認知に過ぎず、明日も未来もまた必ずそうだとは言えない、といった考えを述べた。

一見すると荒唐無稽なこのヒュームの主張こそが、実は真に論理的なものであると言える。
なぜならこの宇宙空間や地球環境に著しい変異が生じたりした場合には、既存の科学体系がそのまま適用出来なくなる可能世界も十分に考えられるからだ。


それは非ユークリッド幾何学の世界では、ユークリッド幾何学の価値観だけでは不十分であるのと同じこと。
だから、論理性もそれを先鋭化させていくと、チューリングマシンのような単なる機械的な自動手続きを超えた真理みたいなものが垣間見えるかもしれないよ。
63: 132人目の素数さん 2018/05/24(木) 07:36:33.17 ID:Uxl6mYqF.net
>>54
中々興味深い話ではある
先に述べた通り、私のわかる範囲(いわゆる解析学や代数学や幾何学といった分野)の理論は必ず何らかの性質や概念を体系化していくものなので、論理だけでは必要な定義もわからず、体系として形作ることもできない

しかしながら、人間的な要素を排除して、論理を論理だけで繋げていった先に何があるのかは面白い話だと思う
それについてはどうなるか楽しみにはしている
65: 132人目の素数さん 2018/05/25(金) 12:17:13.13 ID:BMUerhPJ.net
言っちゃ悪いけど、宗教者の戯言と同じだね、理屈の類ではない
都合よく「これは神の御業だ、神の試練だ」とか定めて世界観つくってるアレ
信じる者にしか通用しない
66: 132人目の素数さん 2018/05/25(金) 13:22:46.69 ID:mpMsZtdc.net
その教義における
「背理法を使わない方がわかりやすい」
という点がまるで信じられない
67: 132人目の素数さん 2018/05/25(金) 22:31:39.67 ID:5iqVuWq4.net
素因数分解の一意性
って本当に背理法じゃないと証明できないの?
68: 132人目の素数さん 2018/05/26(土) 04:35:31.43 ID:x2Q49scf.net
んなこたーない
排中律がなくてもm<n∨m=n∨m>nは証明できる
後はお馴染みの素因数分解の一意性証明でよい
m<nとm>nのときは矛盾するのでm=nと分かる
70: 132人目の素数さん 2018/05/26(土) 07:49:28.48 ID:N2EQPiGo.net
世界はそれを背理法と呼ぶんだぜ
71: 132人目の素数さん 2018/05/26(土) 08:32:02.79 ID:x2Q49scf.net
直観主義論理で証明できるかといえば、できる
m<nとm>nのとき矛盾を導くのは、背理法のプロセスではなく、m<nとm>nの否定に過ぎない
表面上、背理法の形式をとるかどうかを問題とするなら、既に指摘されたように背理法を対偶に書き換えることで解決済み
72: 132人目の素数さん 2018/05/26(土) 09:39:47.06 ID:efhvyUI2.net
そっからどうやってm=nが出てくるんですか?
74: 132人目の素数さん 2018/05/29(火) 01:32:41.07 ID:ZAB9lIJR.net
背理法で証明できたと思っても計算ミスだったということは起こりがち
75: 132人目の素数さん 2018/05/30(水) 00:40:09.49 ID:CmGuvioJ.net
≠で式を変形するよりはまし
76: 132人目の素数さん 2018/05/30(水) 00:49:21.82 ID:uY6vtGQa.net
背理法不要論はよく分からんけど、それと同じくらい≠変形よくない論も分からない
77: 132人目の素数さん 2018/05/30(水) 01:00:45.26 ID:nZstFZFd.net
胴上げして突き落とす論法
78: 132人目の素数さん 2018/05/31(木) 20:43:52.76 ID:2atK/LqX.net
背理法がどうこうじゃ無くて、

数学において
数学において
数学において

1. 証明とは公理から推論出来ると言う意味であり、
2. それ以外の意味は全く無い、

この二つを認めるなら、数学において背理法が正当なものであることは全く明らかであり、認め無いなら数学を理解し行うことは不可能だと言うだけのことだ。
多分数学における背理法の有効性を疑うヤツは、演繹と帰納の区別すら出来てないただのアホだろ。
でなきゃシュレーディンガーの猫ガーとかの、単に混乱を望んでいるだけのキチガイか。
101: 132人目の素数さん 2018/06/01(金) 08:09:32.66 ID:LMxtHqqh.net
>>78
論点がずれてると思うんだけど、論理としての正しさではなく、直感的な意味を理解するための方法論として議論されていると思うのだけど
君はまず数学をやる前にまず日本語の復習からだな

管理人は数学はちっともわからんというのにこんなスレまとめて…。わかるひとにはわかるスレなのではあるまいか!と思ってまとめてます。

背理法の有名な例というのは、ユークリッド(エウクレイデス)の「素数が無数に存在することの証明」っていうのがありますね。
a, b, …, k を任意に与えられた素数のリストとする。その最小公倍数 P := a × b × ? × k に 1 を加えた数 P + 1 は、素数であるか、素数でないかのいずれかである。素数であれば、最初のリストに含まれない素数が得られたことになる。素数でなければ、何らかの素数 p で割り切れるが、p はやはり最初のリストに含まれない。なぜならば、リスト中の素数は P を割り切るので、P + 1 を割り切ることは不可能だからである。任意の素数のリストから、リストに含まれない新たな素数が得られるので、素数は無数に存在する。
仮に素数が有限だとして、その最大の素数を「P」と仮定して論理を進めてみると…というところからスタートしてます。
わかりやすいし、これくらいなら管理人もギリでわかります。

しかし一方で、背理法や数学的帰納法(ドミノ倒し式にすべてのnについて証明するやつ)とかは、教育上混乱を招くこともあるので、高校1年時点では少し早いのではないかという意見もあるようです。

背理法と数学的帰納法はなぜ嫌われるか?
つまり,背理法とはPの否定が偽であることを示すことにより,Pが真であるこどを導く(間接的)証明法のことである.しかし,背理法は排中律から導かれる定理であり,生徒が納得して使えるためにば,背理法が正しいことをきちんと証明しておくこどが必要である.
なるほどわからん。
有名な「フェルマーの定理」の一部は背理法を使って証明されており、使わなければ証明できない問題もあるんだそうで、数学のツールとしては超強力な背理法。
証明のわかりやすさとの折り合いをつけつつ、この偉大な遺産を使いたいものです。

シャルロット・フレア
トップ絵はシャルロット・フレアという女子プロレスラーの美しいムーンサルトプレス。(画像こちらより
コーナーによじ登って、反転宙返りしつつボディプレスを加える…という大技なのですが、考案者はグレート・ムタなんだそうですね。
胸から落ちる関係上、あたりどころが悪ければゴホーッ!ゴホゴホッ!!…となりそうなのですが、さすがプロレスラー、なんともないぜ、ってことなんでしょうか。
受け止める側も、ヒラリとかわすと場外などでは大惨事に。受け止める優しさが必要ですよ、これは。

背理法のイメージよくわからないから、これにしておきました。ちなみに管理人は数学のみならず、プロレスにもとんと無知です。

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    • ※1 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.8.14 21:12
    なるほど、わからん…
    大学受験までは数学得意だったけど論理とか難しい議論見ると数学関係の学科行かなくて良かったわw
    • ※2 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.8.14 21:24
    「背理法を使わなくても証明できる」が正しいとしても背理法を使った方が簡単に証明できる命題が存在するなら、証明の武器としての背理法をわざわざ捨てる理由はないと思う。
    教育的な面で悪影響云々に関しては俺はわからんからパス。
    • ※3 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.8.15 2:34
    証明が分かりやすいんだとしたらその方法で書いた教科書の売れ行きかなにかで証明すればいいんかないかな。背理法不要論を提唱してから随分と経つようだけどそういった本がヒットしたなんて話は聞いたことがないけどね
    • ※4 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.8.15 4:35
    美しさの議論だなあ
    確かに研究室にいたときは教授から背理法を使うな分かりづらいぞ、と良く言われた覚えがある。
    私のようなレベルの人間には、道具は好きなものを使えば?という感想しか…
    短く済む低カロリーなヤツを適宜使えばいいさ
    • ※5 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.8.15 7:03
    ♪~ ハイリハイリフリ、ハイリホー、ハイリハイリフリホッホッー!

    ムーンサルトプレスを世に広めたのは初代タイガーマスクで、当時はラウンデイングボディプレスと古館アナウンサーは言ってましたね
    メキシコ修行中に、セントーンというと前宙してのボディアタックをヒントに考案したそうです
    初期は武藤のような伸身のバク宙ではなくて、途中で側宙が入って捻りを加えた感じで、その後、発展形として捻らないタイプも使ってたことはあります
    なお、この技を日本で最初に使ったのは、タイガーと同じくメキシコ修行をしたジョージ高野と言われてますが、こいつのは「トップロープから後ろ向きで落ちる」みたいなみっともない形でした
    その後タイガーがUWFに移籍して以降、武藤が帰国するまでは、元祖のG高野がみっともないのをたまに披露するだけで、リスキーなこの技はほぼ御蔵入りしてました
    武藤のは、タイガーほどの跳躍感はないものの、高野のよりは飛んでる感があって、彼の代表技となりましたが、その代償は「生涯付き合う膝の怪我」という、大きなモノでした
    現在のように、キレイに体を反ったスワンダイブ形式のバク宙でのプレスが主流になったのは、20世紀も末の頃でしたね

    付則:タイガーはUWFのリングで、一度だけこの技を披露しており、その時のプロレス誌の見出しは、「飛ぶときは飛ぶんだ」でした
    • ※6 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.8.15 7:16
    背理法は不要である、の証明に背理法が使われてる。
    • ※7 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.8.15 9:26
    ハンバーグは必要だぞ
    • ※8 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.8.15 9:50
    ハイリ ハイリ フレ ハイリ ホー
    ハイリ ハイリ フレ ホー ホー
    大きくなれよ
    • ※9 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2018.8.15 19:16
    背理法を使わなければ、三段論法すら使えないと思うけど

    A=B かつ
    B=C

    ならばA=C

    も自明じゃなくなるのでは

    たしか飲茶って人のサイトで、三段論法は自明じゃないでしょみたいな文章見たけど
    背理法で明らかじゃないかと思った記憶がある
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