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なぜ無理数のeやπは様々な性質を持つのか? @ [数学板]


なぜ無理数のeやπは様々な性質を持つのか? @ [数学板]
1: 132人目の素数さん 2018/11/19(月) 00:46:39.19 ID:siseiZTP.net
無理数なんて他にも沢山あるのに、なぜこの二つだけ登場回数が多いのか?
管理人より:「π」は円周率(3.14159 26535 89793 ...)。
「e」は「ネイピア数」とも呼ばれる自然対数の底(2.71828 18284 59045 ...)。
2: 132人目の素数さん 2018/11/19(月) 00:58:15.17 ID:UVFj5Xt+.net
すごいよね
πもすごいけど、微分されてもい積分されても全く動じないeはマジですごいと思う
3: 132人目の素数さん 2018/11/19(月) 01:07:53.93 ID:PdSVbhZH.net
最初は図形で出てきたのに、統計学で出てくるπも凄いね
4: 132人目の素数さん 2018/11/19(月) 01:09:40.70 ID:guFDMZ6h.net
使われる頻度が多いから。
人間は三角関数とか指数関数をよく使うだろ?だからeとかπとかの性質が多く発見されてる。
5: 132人目の素数さん 2018/11/19(月) 01:15:23.06 ID:KBBtU0PY.net
実はπやe以外にもそういう存在があるのか?
あるいは人間がそのように数学を作ったからそういう存在が見いだされてるだけなのか
今の数学体系はこの世界の仕組みから導かれる必然なのか、人間がたまたま作った偶然の結果なのか
人間ではない他の知的生命体が数学のようなものを作ったら、全く別のものが出来上がる可能性はあるのか気になった
6: 132人目の素数さん 2018/11/19(月) 01:27:06.90 ID:KBBtU0PY.net
数学って幾何から生まれた部分と、ものの個数とかを数えるところから発展してきたはずだから、この世界の仕組みが変わらなければ誰がやっても大体同じような数学体系になるのかな
7: 132人目の素数さん 2018/11/19(月) 01:49:43.93 ID:CbhPHWeI.net
√2
8: 132人目の素数さん 2018/11/19(月) 10:16:20.83 ID:6LGLLZZ9.net
eとπとiが代数的に独立じゃないことを主張するのが例のオイラーの公式。
解析的にも幾何学的にもか。
9: 132人目の素数さん 2018/11/19(月) 12:49:22.89 ID:+0GlWUcR.net
>eとπとiが代数的に独立じゃないことを主張するのが例のオイラーの公式。
何言ってんの
管理人より:「e^π」と「π」は代数的には独立してるそうですが、「e」と「π」については現在未解決の模様(あってる?)。「代数的独立性」というのは代数学 線形代数 の概念だそうで、管理人読んでも難しくてよくわかんなかったよ、ゴメン。
2.26追記:※2ドクターがわかりやすく解説してくれてるのでそちらもどーぞ!
10: 132人目の素数さん 2018/11/19(月) 19:40:16.87 ID:cQDY2WAM.net
e+πが無理数かどうかすらわかってないのにな
(e+π, e*πのいずれかは無理数)
21: 132人目の素数さん 2018/11/21(水) 15:47:33.03 ID:Se83NkLA.net
>>19
π - e = 69/163

>>10
(e+π) + e^π = 29.00056711482810748

円周率について語り合おう【π】 - 202, 216, 217, 218にもあるyo.
11: 132人目の素数さん 2018/11/19(月) 22:01:34.49 ID:UVFj5Xt+.net
ちょっと脇道にそれるけど、無理数と有理数の個数(?)の比ってわかってるんだっけ
12: 132人目の素数さん 2018/11/19(月) 22:41:04.08 ID:Us25DtOZ.net
無理数の方が圧倒的に多い
24: 132人目の素数さん 2018/11/22(木) 04:20:45.77 ID:X48rsjn3.net
個数の比って∞じゃないの?
有理数の存在確率?は0でしょ
32: 132人目の素数さん 2018/11/23(金) 17:41:23.77 ID:vTYG9pAl.net
>>24
例えば数直線上の実数を0から一個ずつ数えながら比を計算していけば、その無限遠までの比は、ある値に収束する可能性が微レ存じゃないの
33: 132人目の素数さん 2018/11/23(金) 22:17:54.81 ID:CR/rkH54.net
>>32
自分が何を言ってるか数学の言葉で書いてみ
34: 132人目の素数さん 2018/11/23(金) 23:30:05.06 ID:vTYG9pAl.net
>>33
伝わるかわからないけど、

有理数なら1、無理数なら0を返す関数yuri(x)
無理数なら1、有理数なら0を返す関数muri(x)
を定義できたとして、

lim[a→∞] {∫[-a~+a] yuri(x)dx / ∫[-a~+a] muri(x)dx }

を求める的なイメージ
muri(x) = 1 - yuri(x)
で定義してもいいけど
35: 132人目の素数さん 2018/11/24(土) 00:30:30.28 ID:/XW9nn0/.net
その関数yuriは一般的にディリクレ関数と呼ばれています
リーマン積分不可能(かつルベーグ積分可能)な関数の典型例としてよく知られています
36: 34 2018/11/24(土) 01:20:35.64 ID:nmSRGP0J.net
>>35
ディリクレ関数というのがあるのか~
ルベーグ積分がゼロということは、つまり全部無理数ってことになっちゃうてこと??
だとしたら有理数は存在しているのに存在してないみたいな変な話になるな
謎すぎる


ディリクレ関数の定義と有名な3つの性質
37: 34 2018/11/24(土) 01:31:52.14 ID:nmSRGP0J.net
おれが思いつくことなんて、やっぱり先代の方々がすでに同じようなこと考えてすでに検討済みなんだな
失礼しました
13: 132人目の素数さん 2018/11/20(火) 00:28:50.08 ID:vn8Rd3zq.net
eとπの超対称性不等式
 (e + π+π)/3 > 3 > (eππ)^(1/3),
14: 132人目の素数さん 2018/11/20(火) 01:12:33.73 ID:vn8Rd3zq.net
eとπの超対称性不等式
13(e+π+π)/3 + (eππ)^(1/3) = (13+1)・3 = 42,
26: 132人目の素数さん 2018/11/22(木) 13:33:01.59 ID:C9lyMD48.net
>>14
6桁しか合わねーじゃん
17: 132人目の素数さん 2018/11/20(火) 17:27:25.61 ID:vn8Rd3zq.net
>>13>>14
(e+π+π)/3 = 3.000489045212877
(eππ)^(1/3) = 2.993629678783071
e^π -π = 19.999099979189475767
e^6 -π^5 -π^4 = 0.0000176734512321
44: 132人目の素数さん 2018/11/26(月) 04:31:29.96 ID:JAq6ovHt.net
>>17
e^6 - π^5 - π^4 = 0.0000176734512321092
π^9 / e^8 = 9.9998387978
P.Stanbury: Math. Gazette, 68, p.222 (1984)
51: 132人目の素数さん 2018/11/27(火) 13:40:01.72 ID:QMhuYErk.net
>>17>>44
e^6 - π^5 - π^4 - {π^(-4) - π^(-5)} e^(-6) = 0.000000326601615742
(π +2 +1/π) / e^4 = 0.100001603286
52: 132人目の素数さん 2018/11/28(水) 11:57:32.81 ID:gsXNT+S8.net
>>51
e^6 - π^5 - π^4 - {1/(π^4 + π^3 +π^2 +π^0 +1)} e^(-6) = 0.000000004044885
18: 132人目の素数さん 2018/11/20(火) 22:37:44.55 ID:Yxiiwnov.net
>>13
なんでπだけ2回使ってんの?
19: 132人目の素数さん 2018/11/20(火) 23:07:01.88 ID:vn8Rd3zq.net
>>18
e ≒ 19/7 = 3 - 2/7 = 2.7142857…
π ≒ 22/7 = 3 + 1/7 = 3.142857…

らしいです。
20: 132人目の素数さん 2018/11/21(水) 10:21:56.10 ID:rtFhNBMZ.net
>>19
これは良情報だ
サンクス
28: 132人目の素数さん 2018/11/22(木) 15:27:20.44 ID:x/Au2Ugh.net
>>13>>14
G = (eππ)^{1/3} = 3 - 1/(50π),
38: 132人目の素数さん 2018/11/24(土) 01:37:25.84 ID:mE8EJetP.net
e^π と π^e はどちらが大きいか…

電卓なら直ぐ計算できるが、大学入試問題での証明例を見たが、取って付けた様な証明でなんとも。
39: 132人目の素数さん 2018/11/24(土) 16:22:00.86 ID:Pu2mqvtw.net
π^eとe^πの対数とって
→e log πとπ log e のどっちが大きいか
→log π/πとlog e/e のどっちが大きいか
→ f(x)=log x/x の増減を見よう

自然な考え方だね
41: 132人目の素数さん 2018/11/24(土) 17:54:22.93 ID:JnslRd6o.net
実数はほとんどすべて無理数なのに、代表的な無理数がeやπくらいしかないのはどうしてなの?
42: 132人目の素数さん 2018/11/24(土) 18:44:45.45 ID:Pu2mqvtw.net
>>41
log 2とかΓ(1/3)とか楕円積分とか他にも色々あるが、君が知らないだけ
50: 132人目の素数さん 2018/11/27(火) 08:48:35.17 ID:0/PgGjmk.net
>>41
むしろ有理数か無理数かすらわからない数が多い。オイラーの定数γとか。
ひとつでも解決したら画期的だよ。
46: 132人目の素数さん 2018/11/26(月) 14:24:40.26 ID:D7Y0uoaM.net
人が認識できるものは可算個しかない
47: 132人目の素数さん 2018/11/26(月) 21:47:34.78 ID:4m2vyH8D.net
まあニューロンが有限個しかないからな
60: 132人目の素数さん 2018/12/04(火) 00:53:21.94 ID:ZnXuorTA.net
πが円由来なのではなくて、本質は円とは関係ない説を推したい
63: 132人目の素数さん 2018/12/06(木) 03:48:53.99 ID:9xq/7gl/.net
P = ln(640320^3 + 744)/√163
はπと30桁一致するが、πとは異なる超越数である。


[x] はxを超えない整数とすると
N = Σ(n=1,∞) [ n・e^{(π√163)/3} ] / 5^n
は 10^9 桁以上の精度で整数 200100 と一致するが、整数ではない。

M>>1とすると、
Q = ln(10)・((1/M)Σ(n=-∞,∞) 10^{-(n/M)^2})^2
はπと(πM/ln(10))^2 桁一致するが、πとは異なる。
「円周率について語り合おう【π】」- 017
67: 132人目の素数さん 2018/12/08(土) 15:07:45.95 ID:AidR8gU3.net
>>63
>P = ln(640320^3 + 744)/√163
それを手持ちの関数電卓(fx-JP900)で計算したら"π"って表示された。。。
68: 132人目の素数さん 2018/12/09(日) 14:22:43.02 ID:ujqHMvBG.net
なぜ円周率を半径ではなく直径との比にしたのか?
69: 132人目の素数さん 2018/12/09(日) 14:26:39.31 ID:8K9QBuOK.net
オイラーの公式がちょっと汚くなるから
70: 132人目の素数さん 2018/12/09(日) 14:51:25.64 ID:ujqHMvBG.net
exp(iπ)=1
のほうがキレイじゃないですか?
79: 132人目の素数さん 2019/01/01(火) 00:19:03.45 ID:YSG5zgjs.net
>>70
e^iπ+1=0

この形式が最も美しい
今の円周率の決め方で良かったわ
81: 132人目の素数さん 2019/01/02(水) 19:46:03.94 ID:8snOOIeo.net
>>79
おれもこの式が美しいと思う
何が美しいかは主観なので争ってもしかたないが
80: 132人目の素数さん 2019/01/02(水) 12:56:24.14 ID:nWa9TZGa.net
ほんと汚い式だな
単位元とかゼロ元とか、後付けもいいとこ
82: 132人目の素数さん 2019/01/02(水) 20:03:30.17 ID:wALONkQI.net
なにこのとってつけたような+1は・・・
というのが大抵の反応
美しくもなんともない
83: 132人目の素数さん 2019/01/02(水) 20:13:06.83 ID:8snOOIeo.net
演算的にも和・積・累乗と揃う
数学で5つの最も重要な数が揃う


まあ数学を知ってる人ほど>>79の表し方が美しいと感じるんじゃないかな
77: 132人目の素数さん 2018/12/15(土) 10:06:19.02 ID:G/Zv1nOc.net
π+eとπ-eの少なくとも一つは超越数である
78: 132人目の素数さん 2018/12/22(土) 08:31:22.77 ID:NJVGeWbg.net
1+1/(3+1/(5+1/(7+1/(9+…)))) = (e^2+1)/(e^2-1)
1+1^2/(3+2^2/(5+3^2/(7+4^2/(9+…)))) = 4/π
85: 132人目の素数さん 2019/01/04(金) 08:08:22.26 ID:MI5EF/Qj.net
>なぜeやπは…
γを忘れないでw
86: 132人目の素数さん 2019/01/04(金) 09:58:59.97 ID:TmNXRDeL.net
e,πに比べると極端に出てくる場面が少ないから仕方ない
43: 132人目の素数さん 2018/11/25(日) 20:45:06.84 ID:BuFBIYzy.net
おっπって気持ちe

元スレの方は、ひたすら数式だらけで会話するスレみたいになっており、なにがなんだかよくわからない。
素人には「なんとなくすごい」感しか伝わらず、ご覧のドクターは管理人よりも数学の素養が上だと良いのですが。

無理数かつ超越数であるeとかπとかは確かによく聞きます。
スレでも出てるオイラーの等式にいたっては、なんだってこのようになるのかさっぱりわからないですが、世界でももっとも美しいと評判高いですね。
2.26追記:「調節数」となってたとこ修正

以前こういうスレまとめた時、円周率について調べたときにも思いましたが、数の神秘というのは不思議なものです。 そこに隠された神秘を解き明かそうとエライ先生方が日々がんばってますので、数学苦手な管理人は、そんな日を楽しみに待ってようと思います。

アニメ「レベルE」ファミリー劇場初放送!トップ絵は、なんにしたらいいかわかんなくて、たしかハンタの作者のマンガで「レベルE」ってあったよな…ということでアニメ版より。アニメあったんですね、知らなかった。
連載当時、この「E」がなにを指すのかよくわからなかったんですが、作者によると「エイリアン」のつもりで「E」にしたところ、「エイリアン」は「A」だとツッコミが入って、「ETの方です」と苦しい言い訳をしたとか、そんなこと書いてました。
ETの方の「E」ということでひとつよろしく。

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    • ※1 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2019.2.26 22:31
    巻末欄、調節数→超越数?
    • ※2 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2019.2.26 22:57
    > 「代数的独立性」というのは線形代数の概念だそう
    いやふつうに代数学の概念でしょ
    簡単に言うと(多変数の)多項式に代入して零にできるなら代数従属、そんな多項式が無いなら代数独立(だから>>8はおかしくて>>9でツッコミが入ってる)
    -- 線型代数ではその特別の場合として、一次多項式(つまり線型結合)で代入して零にできるなら線型従属、そうでないなら線型独立というのが出てくる
    -- もっと一般に、(何らかのクラスの)関数に代入して零にできるとき関数従属、そうできないときに関数独立というのを考えることもあるけど
    結局、いくつかの数の間で何らかの関係式が成り立つ(それらが従属関係にある)なら、その「式の種類」はどんなものなのか考えると、その関係が簡単なものなのか複雑なものなのか分類できるよね、というわけでそのいくつかの種類を修飾語を付けて表してる

    まあ、なんで「代数的関係=多項式で関係付けられること」という名前の付け方なのかは、多項式方程式(=代数方程式)に関係あるんだと思うけど(代数方程式が代数的に解ける=方程式の根が係数をすべて含む体の代数拡大体に属す、みたいな話)
  1. >巻末欄、調節数→超越数?
    タイプミス失礼。修正しておきました!
    --------------
    >多項式に代入して零にできるなら代数従属、そんな多項式が無いなら代数独立
    そういえばそんなようなことも書いてたような。よくわからないので誘導しておきました!
    • ※4 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2019.2.27 4:40
    びっくりするくらい何もわからん
    • ※5 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2019.2.28 0:38
    まだ直ってないな
    代数的独立性は線形代数の概念ではない
    線形代数で扱うのは線形独立性という似ているが別の概念

    なので「代数的独立性」は線形代数の概念らしく、という文は間違い

    線形代数、の部分を代数学、体論、超越数論のどれかに書き直すといい
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