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1/3=0.333…、3倍すると3/3=0.999…どういうこと? @ [数学板]


1/3=0.333...、3倍すると3/3=0.999...どういうこと? @ [数学板]
1: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/14(土) 10:48:28.38
1/3は0.33333.....ということは
3/3は0.99999.....となる。
ならば3/3=1ではなくないか?
管理人より:あ!ホントだ!これはいったいどういうことなのか…。
元スレは「数学なんてわけわからん!」でしたが内容が察しにくいので改変してます。
2: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/14(土) 10:53:01.16
又、立った。何十回目か。
3: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/14(土) 10:59:24.57
この疑問て完全な答えがでるもんなん?
4: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/14(土) 12:15:19.09
>>3
出る。
数学は定義より始まる。
5: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/14(土) 12:47:24.37
>>4
3/3は1に限りなく等しいとかでしょ?
それって答えなんかな?
0.999... (Wikipedia)
数学において、小数点以下の各位にすべて9が並ぶ循環(十進)小数 0.999... が実数を表すものならば、それはちょうど 1 に等しい。循環小数としての 0.999... は循環節の明確化のために
0.999...などとも記される。
(中略)
この枠組みにおいて、「循環小数 0.999...」によって「表される実数」を考えることができるが、これは寸分違わずちょうど 1 に等しい。つまり、"0.999..." と"1" という別の文字列は同じ数に対応しており、これら文字列によって表現される数値の差は紛れもない0である。
(中略)
分数を用いた証明[編集]
筆算を用いると 1/3 のような、整数の単純な割り算が循環小数 0.333... となる。ここで 3 は終わることなく永遠に続く。この小数を用いて、0.999... = 1 を即座に証明することができる。3と3の積は各桁に 9 を生ずるので、 3 × 0.333...は 0.999... に等しい。一方、3 × 1/3 は 1 である。したがって 0.999...=1 である[1]。 分数を用いた証明
んっふー!なんか狐に化かされた気分。しかし言いたいことは分かりました。
なんかWikipediaの書き方が念には念を入れ…って感じでちょっとワロてしまいますね。っていうかこのスレ»1で完結してるということに、今気づいたわけですけど、どうしましょうね、このスレ。笑
6: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/14(土) 13:11:44.12
数学は幾つかの無定義概念と公理系より出発する。
但し、公理系は一般に無限個の公理からなっているので、これを同時に全部理解するのが素人には難しいところだ。
9: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/14(土) 14:38:39.56
>>6
こういう知ったかが一番嫌いです
知ったかしてる暇があったら真面目に数学勉強すればいいのに…
15: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/14(土) 16:38:32.26
公理は無限個あっても、公理の型は大抵有限個なので、「無限個あるから難しい」というのは全く的外れ、だと俺も思う
7: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/14(土) 13:55:23.22
同じ値に対し、複数の表記法があるだけ
そして、“...”の意味は、じわじわと、“目的の値”に近づいていくようなイメージではない。

何らかの理由で省略して表記はしてはいるが、“目的の値”そのものを表す。
0.9999...は、「1-ε  ,εは非常に小さい正の値」 ではない
0.9999...は、「lim[ε→+0](1-ε)」であり、これは、「1」そのもの
12: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/14(土) 16:03:11.89
>>7
結局1そのものではなくね?
1に限りなく近いって話でしょ?
管理人より:早くも話題がループし始めました。
公理」というのは、その理論体系の一番根っこの部分。「自明である」とされている最も基本的な仮定のこと。
8: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/14(土) 14:00:11.75
こういう勘違いする人が後を絶たないのは、実数の10進表記について高校の授業で触れないからなんだろうな
無限級数は習うのだから、授業の範囲内にあるといえばあるけど、改めて強調されないと気付かない生徒はいるのだし
16: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/14(土) 16:41:31.86
>>8
なるほど確かに
17: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/14(土) 19:26:00.96
n=0.999…とおく
10n=9.999…
10n-n=9n=9 → n=1なので
0.999…=1
18: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/15(日) 02:13:42.09
1/3*3 = 0.999999...
3/3 = 1
1/3*3 = 3/3 なので
0.999999... = 1
19: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/16(月) 21:09:06.32
こういうのたまに見るが、こういう人達は化学とか物理で頻発に近似値使ってると疑問に感じなくなると思うのだが、こういう人達は理系ではないのか?
20: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/16(月) 21:11:06.64
近似値は近似値って考えなんだろ。
22: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/16(月) 22:19:52.92
近似値に ... は出てこない。全く無関係。
23: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/17(火) 01:37:00.81
近似値と言っているのは
十分大きいn番目に対して0.99…9(小数点以下n桁)≒1
のことかと思われる
まぁ0.999…とは違うがな
24: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/17(火) 11:40:26.07
>>1

十進法の小数表示が、一意的でないことに、気づいていない。
2つの表記 0.999…、1が同じ数である。
45: 132人目の素数さん 投稿日:2012/03/24(土) 21:19:51.67
俺も一次関数でつまずきそうになったし、図形の証明問題にも悩んだもんな
中学では最初で最後で5を獲って卒業したよ
55: 132人目の素数さん 投稿日:2012/04/23(月) 19:39:57.15
数学の問題なんぞできても意味はない。
むしろ物理の問題のほうが、よっぽど論理的思考が養われるし、学問として面白い。
57: ようじょ ◆hNziS2E8421X 投稿日:2012/04/23(月) 21:52:02.14
>>55
物理もおもしろいよね!
いまわたし数学だけじゃなくて物理もべんきょうしてるよ
リュードベリとかボーア理論とかきそてきなことだけど;;
でもおもしろい!
58: 132人目の素数さん 投稿日:2012/04/23(月) 21:53:32.99
>>55
物理板へいけよ
物理>>>>>数学
というすれがあるぞ
59: ようじょ ◆hNziS2E8421X 投稿日:2012/04/23(月) 21:55:32.14
>>58
数学がいちばんおもしらいし!
61: 132人目の素数さん 投稿日:2012/04/25(水) 23:39:03.27
>>1
0.99999・・・=1
だから何の矛盾も無い
63: 132人目の素数さん 投稿日:2012/04/26(木) 16:22:53.29
0.999…=1 であることが理解できず
限りなく近いけどイコールじゃないでしょ?
とかわめく知的センスゼロのやつは殴りたくなる

ものすごい地頭の悪さ、田舎者ふうの話の通じなさを感じる
70: 132人目の素数さん 投稿日:2012/05/26(土) 22:21:10.45
>>63
そんなことでいちいち腹をたててたら人間としてのセンスを疑われるぞw
高校数学あたりで一回ちゃんと公理的集合論位相、実数論から始まる基礎解析あたりを入れておくべきな気がする。
今のカリキュラムは高校生を馬鹿にしすぎている。
子供は抽象的な思考は無理と言うことで大人の面目を保ちたいからか?
82: 132人目の素数さん 投稿日:2012/11/17(土) 19:51:00.17
>>1
>ならば3/3=1ではなくないか?
二重否定は肯定
85: 132人目の素数さん
>>1
もし0.9999・・・・が1でなければ、0.9999・・・・にある数を加えれば1になる。
ところが、0.9999・・・・に加えて1となる数は存在しない。
だから、0.9999・・・・=1である、という理解ではどうだろう?
86: 132人目の素数さん
俺は数学を専攻した訳では無いので、説明の厳密さには欠けるかもしれないけど、
(1/3)×3=1は正しいんだけど、
0.333…×3=0.999…は多分間違い。
0.333…は無限小数なので、0.333…33という風にどこかで終わっている訳ではない。
0.333…33なら3倍すれば確かに0.999…99になるが、無限小数としての0.333は、3倍して1になる数である1/3を無理矢理小数表記にしたものである。
なので、1になるという定義である。
88: 132人目の素数さん
>>86
あー、それよくあるかんちがいだよ。
0.999…もじつは1/1を無理やり少数表記になおしたものなんだ。
89: 132人目の素数さん
そんな約束事があるのか?
90: 132人目の素数さん
中学数学の循環小数の分数に直す単元にて
x=0.999…⇒10x-x=9.999…-0.999…⇔9x=9⇔x=1
である事を学ぶ。
高校数学の極限の単元にて
0.999…=lim[n→∞](1-0.1^n)=1
である事を学ぶ。
何れも無限小の差違を差違無しとして扱われる。

無限小の差違を差違無しとしない扱いの内、0.999…と1とを異なる数とする扱いは辞書式順序と呼ばれる順序構成であり、実数を成す順序体は辞書式順序ではない。
辞書式順序では減法や除法に対して完備な順序構成とはならない。
実数体も辞書順序小数の集合も超実数体も辞書式順序超小数も結局は、標準部分関数を通して無限小の差違を排し大意本質を抽出した実数体に帰する結果を導くので、そんな些末な違いを論議するだけ徒労になるだけだ。

それ以上の疑問は0.999…スレへ行きさらせ
91: 132人目の素数さん
辞書式順序の下では
1-0.999…=1/ω

実数体じゃ取り扱われない差違だ
92: 132人目の素数さん
>>91
虚しくならんか?
93: 132人目の素数さん
この疑問はあながちくだらないものではないと思う。
本気で考えたら、公理的な集合や実関数論の議論から、p進数の整合性がとれていることを有限的に示さないといけないから。
いきなり無限級数とかを出すのは説明になっていない。


例えばペアノ算術みたいな自然数論だけ考えると、1の表示は一通りで0.999…という表示は持たない。
一方実数体だけを形式体系として定義すると、1の表示は0.999…でもあるけれでも、実数体の部分集合として自然数の集合を選び出すことができない。
(そのせいでペアノ算術で成り立つ不完全性が実数体では成り立たなかったりする)
だから1というのがどういった形式系で展開するかに0.999…表示の有無が依存してしまう。
94: 132人目の素数さん
わざわざ一階の理論に限定しといて「成り立たない」なんて言ってもね…
ペアノの公理 (Wikipedia)
ペアノの公理(ペアノのこうり、Peano axioms) とは、自然数全体を公理化したものである。1891年に、ジュゼッペ・ペアノによって定義された為、現在の名にいたる。
(中略)
自然数は次の5条件を満たす。
  • 自然数 0 が存在する。
  • 任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する(suc(a) は a + 1 の "意味")。
  • 0 はいかなる自然数の後者でもない(0 より前の自然数は存在しない)。
  • 異なる自然数は異なる後者を持つ:a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる。
  • 0 がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。
95: 132人目の素数さん
半開区間を1/10に分割して得られる有理数列と、10進数表示は1対1に対応したないのです。
79: 132人目の素数さん 投稿日:2012/10/08(月) 08:10:53.48
          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
        , '´  _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
      /   /:::::; -‐''"        `ーノ
     /   /:::::/           \
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      |   |::/ / / |  | ||  | | ,ハ .| ,ハ|
      |   |/ / / /| ,ハノ| /|ノレ,ニ|ル' 
     |   |  | / / レ',二、レ′ ,ィイ|゙/   私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.     |   \ ∠イ  ,イイ|    ,`-' |      頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
    |      / `‐-、::::::::::`‐-、::::\   /,ニニ、\            それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
   |      |::::::::::::::::::|` -、:::::::,ヘ ̄|'、  ヒニ二、 \
.   |      /::::::::::::::::::|::::::::\/:::O`、::\   | '、   \
   |      /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'、::::\ノ  ヽ、  |
  |      |:::::/:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'、',::::'、  /:\__/‐、
  |      |/:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::O::| '、::| く::::::::::::: ̄|
   |     /_..-'´ ̄`ー-、:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::\;;;;;;;_|
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    |   /:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::O::|::|::::::|:::::::::::::::/
管理人より:↑数学板のAA荒らしはこういうやつです。もう見ると殺意が湧くほど大量に書き込んでます。もちろんこのスレにも…。
80: 132人目の素数さん 投稿日:2012/10/08(月) 08:26:52.44
良スレなのに、AA荒らしが...

なんで放置されているのか。忍法帖を導入した本当の意図はいったいなんだったんだ?

アレクサンドル・デュマの小説に「モンテ・クリスト伯」というのがあって、その中に、
神は人間に無限の欲望を与えた。しかし能力は有限しか与えなかった。
一言一句このままだったかちょっと自信ないですが、こんな一節があります。

数学の世界ってのは、いや他の分野の学問だって同じですが、もう全体像が膨大になりすぎて、全部を詳細に把握できるひとはいないですね。このスレみたいにもんのすごい低いレイヤーを専門にしてるひともいれば、もんのすごい高いレイヤーを専門にしてるひともいる。
自分が抱えてる問題が、実はこの分野のこの理論を使えばあっという間に解決するのに!…ということに気づかないまま生涯を終えるひとが、どれほどいるだろう?とかねぇ、そゆこと考えてしまいますけども。

そういうわけで、当サイトに来られた方の中には、数学ネタ経由で…という方もチラホラおられるようなので、数学カテゴリーが不死鳥のごとくに復活しました。
昨日ちょっと英語学習+映画のネタで、今日はたまたま映画単独のスケジュールってことになってるので、2回連続映画はアカンよなぁ…ということもありますけどね。とりあえず更新頻度は低めで再スタートします。

理系のコアみたいな学問だし、「博士」ちゃんねるなのに、それを欠いていては、ちょっとなぁ…と長らく気にはしてましたけどもね。
なにしろ、AA荒らしとクソコテのアホレスが8割占めてますんで、中身がうっすーくなったり、1記事の規定量に達しないこともチラホラあるかと思いますけど、大目にみていただければ幸いです。
まぁ管理人は四則演算がギリっていう人間ですんで、だいぶ迷いましたけど、こういうスレならだいじょぶやろ…と思ってまとめたら、予想GUYに難しかったですね。笑

このスレは»1さんは疑問を呈すると同時に、(そうとは気づかずに)解決してるという、なかなか珍しい質問スレ。
「0.3333...×3=0.9999...=1」なんてのは我々一般人には、あんまりピンとこないのではないかと思いますけど、スレ住人も手を変え品を変え述べてるように、これは厳密に、一点の疑いの余地もなく「=1」だということですネ。
んっふー!!理屈はわかるけど、なんだこのモヤモヤ感…笑
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元スレ:http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1326505708/

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博士ちゃんねる ヘッドライン

  1. そういえば、すごくどうでも良いことですが、
    2chの哲学版で初めて見たAAが
    腕を組んだ八頭身フーンが
    「ようするに ちん毛 フッサールということだな」
    と静かに言っているAAでした。

    哲学版の荒らしAAは既存のAAをしっちゃかめっちゃかにくっ付けて作ったものが多いですが、
    そんなAAのどれよりも破壊力のあるAAでした。

    すごくどうでもいい話をすいません。
    • ※2 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2014.9.30 0:28
    ツェルメロフレンケルの公理系から出発して、フォンノイマンの自然数構築、その後実数構築と進んで、ε-N論法っていうのがあるので、それが分かると早いです。高校数学の「限りなく」という表現がいかに害悪かよくわかります。

    ε-Nを使わず物凄く適当に説明すると
    「1」を0から数えてn番目の実数として、n-1番目の実数を「r」とします。(nは自然数)
    すると、「1」と「r」の間には1>r’>rみたいな実数r’が存在しません。・・・①
    (rの次の実数が1なので)
    ただ、「1」から「r」を引くと、1>rなので一番小さな正の実数がでてきます。・・・②

    ここで、rが0.999・・・と無限に少数の位が続く値とすると、
    1-r=0.00000・・・・・・・と0が無限に続きます。つまり、どんな正の実数よりも小さい値です。
    僕らの「時間」や「作業」に対する感覚は有限がベースなので「計算には終わりがある」
    「どっかで、あるいは最後に1か何か出るんじゃないの?」と感じがちですが、「0が無限に続きます」。ほかに出る数がありません。

    すると「1」から「r」を引いても一番小さな正の実数が出ないので、②に矛盾。
    0.999・・・>rとなり、0.999・・・が1以下だということは感覚的に分かると思うので、
    1≧0.999・・・>rで、①を適用すると、1=0.999・・・
    • ※3 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2014.9.30 18:58
    昔(30年程前)のPCは2進数の演算しか出来なかったので
    1/3を3倍しても1にならなくて苦労したんだよな…
    と、おっさんが黄昏てみる。
    • ※4 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2014.9.30 20:42
    私が腑に落ちなかったのは
    0.999・・・を小数点以下を切り捨てにすると・・・1である・・・なんでぇ!?

    とりあえず表記の方法と考えて小さい方から書くのが0.999・・・、大きい方から書くのが1.000・・・とすれば何となく納得しました。
    • ※5 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2014.9.30 21:54
    ものすごい簡単に考えると0.9999(9が無限に続く)を1から引くと

    1
    -0.99…(9が無限に続く)
    0.000(0が無限に続く)

    ということなんだよなあ
    • ※6 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2014.9.30 22:46
    別分野の専門家が解決したのは聞いた事があります
    ポアンカレ予想がそうだったらしいですね

    数学の問題を物理の観点から理解する、っていうコンセプトの本も一冊持ってますけど、さて何ていったかな
  2. >そんなAAのどれよりも破壊力のあるAAでした。

    哲学板のAA荒らしはキモくて有名ですけど、まだアレはいいんですよ。連投じゃないし、創意工夫に富んでいるから。
    しかし数学板はただのコピペで超連投です!許せん!
    --------------
    >高校数学の「限りなく」という表現がいかに害悪かよくわかります。

    長文の解説ありがとうございます。わかりやすいです。
    これって85さんの「0.999...に足して1になる数が存在しない」を詳しく解説していただいたということですね。
    --------------
    >昔(30年程前)のPCは2進数の演算しか出来なかったので
    >1/3を3倍しても1にならなくて苦労したんだよな…

    言われてみればそうですね!循環小数にならない!笑
    --------------
    >とりあえず表記の方法と考えて

    ああ、そういう考えもありますね。おもしろい
    --------------
    >1
    >-0.99…(9が無限に続く)
    >0.000(0が無限に続く)

    これって※2番のドクターのと同じことでしょうか。こちらもわかりやすいです。
    --------------
    >別分野の専門家が解決したのは聞いた事があります
    >ポアンカレ予想がそうだったらしいですね

    そうそうペレリマンですね。あの証明は数学者がなかなかわかりづらいものだったとか。
    他にもゼータ関数のゼロ点の間隔と、ウランのエネルギー脈動間隔がほぼ同じっていうのもありました。(youtubeで観たんすけど)
    • ※8 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2014.10.10 18:04
    1/3時間は0.33333.....時間ということは
    3/3時間は0.99999.....時間?

    いいえ
    1/3時間は20分
    3/3時間は20分 x 3 = 60分 = 1時間
    • ※9 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2014.11.19 15:21
    そんなに1=0.999…が納得いかないんだったら、
    1≠0.999…が成り立つ数学モデルを研究すればいいんじゃね?

    これだけたくさんの厳密な証明がついたレスがあるにも関わらずまだいってるなら
    いっそのこと、そういう数学モデルで大発見したらいいよ

    ちなみに、こんな「証明」もあるぞ

    0.999…
    ------
    9)9
    81
    ------
    9
    81
    -----
    9
    81
    ----
    9
    81
    ---
    9…

    よって、1=9/9=0.999…
    • ※10 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2015.2.18 21:41
    じゃあ[0.999..]も1なのか。
    • ※11 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2015.3.25 1:11
    昔は2chの数学板入り浸ってたな、今井とかいうキティがやってきて、どうしようもなくなってしまったけどw
    高校のどこかの段階(limをやる辺り?)で実数の = の定義をやってしまえばいいよなって、最近は思う、そんな難しくないし
    実のところ 1 ≠ 0.999... で定義した実数以外の何かの数の概念(超実数体)なんかもできるので
    どちらが良いという訳ではないが、ここでは1 = 0.999... として扱うんだよって感じで理解できれば、みんな納得するんじゃないかと思う
    簡単にいってしまえば、 A = B とは、AとBの精度をどんどん上げていくと A - B の絶対値が 0 に近づくとき、この二つの実数は等しいとするのが実数
    等しくないとするなら、それはそれで実数とは違う何か新しい数の概念ができるというだけ
    そして 1 - 0.9999 は無限小 dx となり、(1 + 0.9999)/2 は 1 より無限小だけ小さい数値 1 - dx みたいなものになる、dx は虚数 i とかといっしょで、ちょっと計算ルールが違うそういう感じの物
    • ※12 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2016.11.29 12:34
    どうでもいいが
    >n=0.999…とおく
    >10n=9.999…
    >10n-n=9n=9 → n=1なので
    >0.999…=1

    この証明は意味がない
    そもそも
    1-0.999…=0
    を証明したいのに
    9.999…0.999=9
    を使ったらだめ
    • ※13 : 金ぴか名無しさん
    • 2017.2.9 2:51
    「レイヤー」って言葉は高い低いで表現するの?
    広い狭いが妥当な希ガス

    スレに関係なくてスマヌ
    • ※14 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2017.6.5 21:36
    級数使ってしまえば割と簡単に理解出来るのでは?
    級数の公式 (a(1-r^n)/ (1-r) 等) を求める手順を示し、初項0.9 公比0.1 項数∞ を代入すれば…
    上若干飛ばしつつ読んだので既出でしたらすいません
    それと0.99999…9と0.99999…はイコールでないことを知らなければこの問題の理解は難しいと思われます
    有限の世界と無限の世界をごっちゃにして考えると迷宮入りしかねないですし
    • ※15 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2017.7.7 22:01
    理屈だけ延々と述べられても理解出来ないんじゃない?
    小学生でも「成る程!」って思える説明が出来てこそ、
    真の数学者、数学を愛する者なんじゃないかな?

    難しい言葉の羅列はアマチュアの証かもね。
    • ※16 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2017.8.5 23:02
    1/3ダースは0.33333.....ダースで4本
    3/3ダースは0.99999.....ダースで12本、即ち1ダース
    みたいにしたら感覚的に分かりやすい気もするけれど、
    よく考えると論理がループしているような気もする。
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