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なんで-1は虚数って言わないの? @ [数学板]


なんで-1は虚数って言わないの? @ [数学板]
1: 132人目の素数さん 投稿日:2013/03/31(日) 01:42:42.32
以前質問スレにも書き込みました。
-1などの負の数は、0(無)よりも小さい、想像の数だと思います。
管理人より:「虚数」というのは、2乗してゼロより小さい実数になる数(負数の平方根)。実軸上では負数の積は必然的に正数になるので、「実数」に対して「虚数(imaginary number/想像上の数)」と呼ばれ「i」で表されます。実数軸とは0を基点に直行する「虚数軸」を構成することに。イタリアの数学者カルダーノが「アルス・マグナ」という著作で言及したのが最初と言われています。
2: 132人目の素数さん 投稿日:2013/03/31(日) 01:47:22.45
想像の数として存在している。
5: 132人目の素数さん 投稿日:2013/03/31(日) 02:11:59.51
自然数を個数を表すものとしてしか考えてないからそういう妄想が渦巻くようになる。
管理人より:「自然数」は正の整数。0を含む場合と含まない場合があります。
8: 132人目の素数さん 投稿日:2013/03/31(日) 02:23:30.67
Foundations of Analysis (AMS Chelsea Publishing) 論理的に納得したいのであればこの本を読むといい
9: 132人目の素数さん 投稿日:2013/03/31(日) 02:28:13.09
>>1
じゃ「実在する」ってどんな状態を差すの?

1、2、3… は実在するかのような言い方だけど、純粋な3をここに持ってこいたってできる?
リンゴ3個持ってきても、その状態で全ての3を表したことになるか?
13: 132人目の素数さん 投稿日:2013/03/31(日) 04:15:19.31
虚数は実在する?→知るか
実数はさすがに実在するでしょ?→知るか
15: 132人目の素数さん 投稿日:2013/04/02(火) 02:05:25.69
負の数学―マイナスかけるマイナスはマイナスになれるか? 「負の数学」を読むと、日本の駄目学生が問題視しがちな、虚数の実在性よりも、負数の実在性のほうがむしろ数学史上紛糾した話題だったことが書かれていて、驚く。
-1 の存在を認めてしまえば、√(-1) まではあとわずか。
16: 132人目の素数さん 投稿日:2013/04/02(火) 02:08:08.70
現代日本では小学校で数直線を習うからね(たぶん日本以外でも同じだろうけど)
17: 132人目の素数さん 投稿日:2013/04/03(水) 22:07:39.03
ゴルフや温度などで普通に使っているからな。
普段から洗脳しているんだよ。
管理人より:Wikipediaの「正の数と負の数」の「負の数の起源」によると、
プトレマイオス朝エジプトではディオファントスが3世紀に『算術』で 4x + 20 = 0 (解は負となる)と等価な方程式に言及し、この方程式はばかげていると言っており、古代地中海世界に負数の概念がなかったことを示している。

7世紀の間に、負数はインドで負債を表すために使われていた。インドの数学者ブラーマグプタは『ブラーフマスプタ・シッダーンタ』(628年)において、今日も使われている一般化された形式の解の公式を作るために、負数を使うことについて論じている。彼は二次方程式の負の解を発見し、負数と零が関わる演算に関する規則も与えている。彼は正数を「財産」、零を「0 (cipher)」、負の数を「借金」と呼んだ[3][4]。12世紀のインドで、バースカラ2世も二次方程式に負の根を与えていたが、問題の文脈では不適切なものとして負の根を拒絶している。

8世紀以降、イスラム世界はブラーマグプタの著書のアラビア語訳から負の数を学び、紀元1000年頃までには、アラブの数学者は負債に負の数を使うことを理解していた。

負の数の知識は、最終的にアラビア語とインド語の著書のラテン語訳を通してヨーロッパに到達した。
やっぱインドなのか…。ゼロもインド人の発明と言われていますね。インド人すげぇ…。
18: 132人目の素数さん 投稿日:2013/04/04(木) 22:27:07.48
なんで-1を虚数って言いたいの?
20: 132人目の素数さん 投稿日:2013/04/05(金) 04:11:14.82
過不足数に於いて過剰数を過不足数+x個、不足数を過不足数-x個と表す概念が『実在』する。
具体的にも電子1個を電子+1個、反電子1個を電子-1個と表す概念が『実在』する(物理学の反物質の概念を参照の事)。
と言うか自然数からして個数を表す『概念』である。

虚数を含む複素数は具体的には東西南北で表す事が出来る。

虚数と云う単語も字面のみを見て文学的に解釈してはならない。数学は定義だ。
25: 132人目の素数さん 投稿日:2013/05/14(火) 05:07:10.01
例えば、風俗店に行く時に、万札を2枚持って、これで十分だろと思ったら、会計時に3万要求されて、万札が1枚足りない。
これが札に注目した、マイナス1という状態。

日常生活で「実」際に起こり得る「数」の状態。
虚数単位iとは全く別物。
26: 132人目の素数さん 投稿日:2013/05/14(火) 17:41:49.20
>>25
正の数だけでは表現できなくなる状況があり、符号などというものを考えると表現できるようになった → 負の数

数直線の原点から見て上に1の距離にある点は、正負の数だけでは表現できない
→ 虚数というものをかんがえると表現できるようになった


まあ、座標、ベクトルなどでも良いんだけどね。でもそれは、借金でも同じ。
27: 132人目の素数さん 投稿日:2013/05/14(火) 22:02:27.11
Fが体⇒±1∈F
しかしi∈Fかどうかは何等必然性は無く、Fがどんな体かによる
そんな-1を虚数と呼ぶのは如何にもセンスが無い
28: 132人目の素数さん 投稿日:2013/05/14(火) 22:10:06.44
体構造は無批判に受け入れてもいいのかw
29: 132人目の素数さん 投稿日:2013/05/14(火) 22:48:26.67
受け入れたくなければ受け入れなくてもいいよw
30: 132人目の素数さん 投稿日:2013/05/15(水) 01:17:18.32
まあ、いかにも取って付けた感はあるよな。

本当は… 現実観察 → 数値モデル化して演算定義 → 演算の各種法則を確認

という流れなのに、無理矢理逆コースをたどっている感がびしびしと…
まあ、数学の「一般的流れ」なのは認めるけどさw
31: 132人目の素数さん 投稿日:2013/05/15(水) 07:38:47.88
それじゃ>>20みたいな即物解説にしかならないじゃないか

数学は即物束縛されない
32: 132人目の素数さん 投稿日:2013/05/15(水) 19:10:24.63
そりゃ言い訳。基本は >>30 だ。

現実から離れた分野ならそれを言えるのだろうけどね。
35: 132人目の素数さん 投稿日:2013/05/16(木) 20:42:04.74
>>32
真っ当な言い分だろ、それを言い訳だなんてこじつけが過ぎるぞ
こじつけ君はどうやら実践数学までしか抽象化できない様だね

発明品の分野だって発明が先で特許要請理由や論文報告つまり発明用途を後から捻出したり…、なんてケースもあるジャマイカ、導電性プラスチックとか
管理人より:「導電性プラスチック」というか「導電性高分子」というのは、電気を通す高分子化合物の総称。
共役したポリエン系がエネルギー帯を形成し伝導性を示すと考えられている。代表的な物質としてはポリアセチレン、ポリチオフェン類などが挙げられる。「導電性」と呼ばれているが、実際の性質は導体というより半導体であり、高分子半導体などと呼ぶ場合もある。
これの発見に寄与した白川英樹らはノーベル賞を受賞しています。
39: 132人目の素数さん 投稿日:2013/05/16(木) 23:46:41.46
>>35
オレは普通の思考の流れを言っているだけw

数学書では、あたかも逆に発想したかのように書いているが、それは単にユークリッドからの歴史があるから
、それに習って、「論理的に」書いているだけ。本当の思考の流れは俺が書いた通り。

高度な抽象化だとしても、何らかの要求(何かを証明したいとかね)から、試行錯誤でやっていき、うまくいった例を例によってユークリッド由来の天下り式に書いているだけ。
エウクレイデス管理人より:「ユークリッド(エウクレイデス)」は古代ギリシャの数学者。それまでに他の学者によって考案された主に幾何学部門の定義などを体系的にきちんと整理した「原論」の著者。世界第3位のベストセラー作家。ちなみに第2位はコナン=ドイルの「シャーロック・ホームズ」、第1位はもちろん「(新約)聖書」…と管理人は聞いてます。
40: 132人目の素数さん 投稿日:2013/05/18(土) 10:52:56.96
>>39
流れとか流れじゃないとか言ってるが、定義から出発する構成思考を否定する事になるぞ
33: 132人目の素数さん 投稿日:2013/05/16(木) 08:19:24.85
虚数という名前が悪いんだと思う
いっそ回転数とでも名前を変えて見たらどうか
34: 132人目の素数さん 投稿日:2013/05/16(木) 13:51:47.35
四元数は空間回転数とでも呼ぶのかね
管理人より:「四元数」とは…Wikipediaの説明見てもよくわからないですね。笑
実軸と虚軸で表される複素数をさらに拡張したもので、 四元数の基本公式↑この基本公式で表される新しい数体系だそうです。簡単に言うと、実軸→一次元、+虚軸→二次元、ここにさらにもう1個加えて三次元としてみたら…というのが出発点の模様。
36: 132人目の素数さん 投稿日:2013/05/16(木) 21:53:00.52
-1 を虚数と呼ばないのは、既に負数という用語があったからだよ。
同じものに、二個目の名前は要らない。


日本語で「負数」というと、おとなしいが、"negative number" には、もう少し拒絶感があって、「反物質数」くらいのインパクトはある。

事実、提案されてから受け入れられるまで、(数学オンチの人以外に)にかかった時間は、虚数よりも負数のほうが遥かに長かった。
数学史の本を読めば、書いてある。

特に負数の歴史を扱ったものとしては、「負の数学 negative math」(著者忘れた)が、面白かった。
45: 132人目の素数さん 投稿日:2013/12/08(日) 21:49:59.46
現実で言えばものが足りてる状態が+ものが足りてない状態が-って考えたらごく自然な概念だと思うけどなぁ
46: 132人目の素数さん 投稿日:2013/12/11(水) 22:03:12.41
-1 は、虚数でなく、嘘数です。
47: 132人目の素数さん 投稿日:2013/12/15(日) 04:53:55.94
>>1
√-1と区別できないから
50: KD118152041027.ppp-bb.dion.ne.jp 投稿日:2014/01/02(木) 09:50:35.28
√-1が虚数
i2乗=-1も虚数

-1は実数
51: 132人目の素数さん 投稿日:2014/01/16(木) 13:04:27.19
なんで整数は実数って言わないの?
52: 132人目の素数さん 投稿日:2014/01/16(木) 13:39:16.01
整数は実数じゃないのか?
53: 132人目の素数さん 投稿日:2014/01/21(火) 03:53:20.88
良すれ
55: 132人目の素数さん 投稿日:2014/01/22(水) 09:29:58.36
>>1
自分で負の数だって言ってるじゃんかw
56: 132人目の素数さん 投稿日:2014/01/22(水) 19:10:43.77
だから負の数のことを虚数と呼んで何故だめなのかって聞いてるんだろ、このバカ
57: 132人目の素数さん 投稿日:2014/01/22(水) 19:13:23.40
負の数は実数だからだろ。馬鹿。
58: 132人目の素数さん 投稿日:2014/01/22(水) 21:24:00.74
>>56
呼びたきゃ呼べよ
59: 132人目の素数さん 投稿日:2014/01/23(木) 00:01:09.02
名称が学問の本質に影響を与えてるって勘違いしちゃう人って、外国語の存在とかどう思ってんだろ
60: 132人目の素数さん 投稿日:2014/01/23(木) 14:55:40.40
学問の裾野には影響を与えるから、こんなスレが存在してるんだろ。
61: 132人目の素数さん 投稿日:2014/01/26(日) 22:27:53.66
 iπ
e  +1=0
管理人より:「オイラーの等式」と呼ばれる公式。eもπも無理数、iは虚数、この3者には及びもつかない美しい関係があった…という有名なやつですね。内容はさっぱり分からないですが。
62: 132人目の素数さん 投稿日:2014/01/27(月) 01:28:33.01
負の数を虚数とよんだら、今虚数と呼ばれている数はなんと呼べばいいんだい?
68: 132人目の素数さん 投稿日:2014/01/31(金) 02:08:27.88
>>62
超虚数
64: 132人目の素数さん 投稿日:2014/01/28(火) 02:18:50.43
四元数って、何数と呼ばれるの?
65: 132人目の素数さん 投稿日:2014/01/28(火) 08:37:22.55
超複素数
66: 132人目の素数さん 投稿日:2014/01/28(火) 09:41:26.44
複素数に実数を埋め込む方法は一通りだが、四元数に複素数を埋め込む方法は無数にある。
四元数の複素数部分・非複素数部分という考え方が無意味。
67: 132人目の素数さん 投稿日:2014/01/30(木) 06:26:38.70
虚数というのはセンスない造語だったな

物理的には虚ろだという意味では、負の数どころか自然数だって虚ろなんだから
69: 132人目の素数さん 投稿日:2014/10/12(日) 01:58:43.65
大いなる虚数
54: 132人目の素数さん 投稿日:2014/01/21(火) 08:47:52.36
高校生のとき、「直線は曲線じゃない」と言った代ゼミの講師と、口論したことがある。
他の受講生は、迷惑そうだったが。

管理人が数学はまるでダメだということもあり、数学板のあまり高度なスレは扱ってないわけですが、案外スレ住人の反応をみると「これは良スレ!」という高度なスレもチラホラあり、これをどうしようかちょっぴり迷っています。
次回は、そんな初心者お断りスレも試しに1個やってみましょう。数学好きのドクターはきっと楽しめるかもしれない。

というわけで虚数についてのスレ。
管理人は学校の数学の授業で虚数の「i」が出てくるあたりで、「こんなん無理だ…('A`)」と思って戦うことを放棄したクチですので、抽象的な概念を扱う数学とはどうも相性が悪かったようですね。今から考えたら随分もったいないことをしたと思います。

「imaginary number」を「虚数」と訳したのは、どうもイマイチである…というのは数学板や物理板ではよく出る意見。どういう訳を当てればヨカッタのかなぁ。原語に忠実に「想像数」が近いんでしょうか。
でもこの虚数というのはなかなかに便利で、実数のみでは解決できない問題も虚数まで拡大すると解決できたりするわけで、数学史上、とても大きな発見と言える。
「非ユークリッド幾何学」なんかもそうですが、数学者って頭の柔らかい自由な発想ができないと務まらないんだなぁ…ということをしみじみ感じますネ。


元スレ:http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1364661762/

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    • ※1 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2015.2.21 1:15
    和の元たる0
    積の元たる1
    超越数たるeとπ
    そして虚数単位のi
    これらが一同に会するオイラーの等式は非常に美しい。

    と聞いた記憶はありますが、未だによくわかりません……
    • ※2 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2015.2.21 9:56
    なぜ虚数には二乗すると-2,-3になる数がないのか分かりません。
    と、未だに加減乗除も分かっていない自分が言ってみたりするw
    • ※3 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2015.2.21 12:31
    √2iも√3iも虚数なんですがそれは
    • ※4 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2015.2.21 23:43
    オイラーの等式が美しいといわれるのは、発見された経緯や利用のされ方が余りにも違うそれぞれの数が、物凄く単純な関係で結びつくところにある、らしい
    0と1は言うに及ばず、自然対数の底e、円周率π、虚数i、どれも現在でも重要な概念であることがまた一層美しさを引き立てるとか何とか
    • ※5 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2015.2.22 18:29
    更に言うならオイラーの等式じゃなくて公式の方の話だが、目で見てはっきりと分かるように指数関数と三角関数の関係を表していて、実用上も非常に役立つ所がオイラーの公式が美しいといわれる理由かな。
  1. >一同に会するオイラーの等式は非常に美しい。

    オイラーさんはなんでこの3者に関係かある、という予想を立てることができたのか。
    天才の考えることはさっぱりわかりませんねぇ。証明の内容もすでに難しすぎますが。
    ----------------------
    >虚数には二乗すると-2,-3になる数がないのか

    ※3ドクターも書かれてますが、ありますよぉー
    0で直行するあたらしい数直線ができるということですから、i+i=2i(2乗して-2なる数)です。合ってるかな。
    ----------------------
    >実用上も非常に役立つ所がオイラーの公式が美しいといわれる理由

    オイラーさんは他にもアルゴリズムの理論とか、ネットワーク理論とか非常に実用的な数学も考えてるんで、ほんとすごいひとです。
      • ※7 : ドクター・ノオ・ネーム
      • 2015.2.22 19:47
      ※2です。
      二乗すると-2,-3になる数はできるんですね。数学は奥が深すぎる。
      • ※14 : ドクター・ノオ・ネーム
      • 2016.7.21 14:39
      オイラーの公式の証明はe^x,sin x, cos xのテイラー展開をx=0で考え、(マクローリン展開)e^x のxにiをかけることによって複素数の関数としてみることで、
      e^(ix)のマクローリン展開=cos xのマクローリン展開+i sin xのマクローリン展開
      →e^(ix)=cos x + i sin xとします。
      ここで、xの部分にπを代入すれば
      e^(iπ)=cos π+i sin (π)
      =-1 + i×0
      =-1 (q.e.d.)
  2. そもそも虚数という概念にはどういった役割があるの?
    「実は○○にも数学はいかされてるんです!」みたいなのはよく聞くが
    数学音痴だからか虚数にそういう役割があるとは到底思えない。
    それともある程度ルール決めて遊ぼうっていう頭の体操的な数学者の遊び心?
    専門版で聞きたいけどなんだかこわくて聞けない・・・
    • これはですね、おもしろいから作られたわけじゃなくって、もし「2乗して-1になる数」があれば解けるのに!という問題があったから、なんです。
      じゃ作っちゃおうぜという形ですね。既存の数学に影響を与えず、それどころか数学の適用範囲が大幅に広がる結果に。

      http://oshiete1.watch.impress.co.jp/qa4444741.html
      ↑コチラの説明はわかりやすいと思いますが、虚数は電気工学の分野でも多用されるそうです。
    • ※10 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2015.2.26 21:06
    複素解析は工学分野なら必修らしい
    • ※11 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2015.3.17 21:13
    -1 には負数と名前が付いているのに
    なんで虚数なんて別の名前を付けるの
    • ※12 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2015.3.17 21:21
    問題提起が低能すぎ。
    煽っているだけ釣っているだけ。
    やっぱりネットもTVと同じ
    カスだな
    • ※13 : ドクター・ノオ・ネーム
    • 2016.7.21 13:46
    実数→左右に無限に広がる直線 どこを適当に取っても長さの概念がある(連続性)
                 マイナスの概念→加法、減法の概念が数直線上で定義できる(整数環)
    虚数→左右と上下に無限に広がる平面 連続性
    虚数単位√-1はQ(√-1)の代数拡大は二次拡大ではあるが平方根の公理に反するようである
    →代数拡大をする冪乗根(べきじょうこん)が負数の平方根である場合には特別に複素数体と云う拡大体を作ってしまえ→複素数(実数+虚数)の完成
    まとめると、負の数は実数という名の数直線を完成させるため、すなわち一次元空間の要素であり、
    虚数(正確に言うと純虚数)はこの数直線を一次元の直線から二次元の平面に拡張した時の
    座標軸の実数ではない方の要素であるので、負数と虚数はまーったく違うのですお
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